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概率論與數(shù)理統(tǒng)計多維隨機變量及其分布-文庫吧資料

2024-08-28 11:53本頁面
  

【正文】 一映射 , 即存在定義在該變換的值域上的逆變換 : )。 (2) 求在 yY? 的條件下 , X 的條件概率密度 。,(~),( 212221 ?????NYX (1) 求 )|(| yxf YX 和 )|(| xyf XY . (2) 證明 X 與 Y 相互獨立的充要條件是 0?? . 例 8 (講義例 6)甲乙兩人約定中午 12 時 30 分在某地會面 . 如果甲來到的時間在 12:15到 12:45 之間是均勻分布 . 乙獨立地到達 , 而且到達時間在 12:00 到 13:00 之間是均勻分布 . 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過 5分鐘的概率 . 又甲先到的概率是多少 ? 例 9 設(shè)數(shù) X 在區(qū)間 )1,0( 均勻分布,當(dāng)觀察到 )10( ??? xxX 時,數(shù) Y 在區(qū)間 )1,(x 上等可能隨機地取值 .求 Y 的概率密度 . 例 10 設(shè)店主在每日開門營業(yè)時,放在柜臺上的貨物量為 Y ,當(dāng)日銷售量為 X 假定一天中不再上柜臺上補充貨物,于是 YX? . 根據(jù)歷史資料, ),( YX 的概率密度函數(shù)為 Y X 1? 0 2 0 0 1 2 0 ??? ????? .,0 200,0,200/1),( 其它 時,當(dāng) yyxyxf 即 ),( YX 服從直角三角形區(qū)域 OAB 上的均勻分布 , 見圖 3— 2A. 求 (1) 給定 yY? 條件下 , X 的條件分布 . (2)假定某日開門時 , 10?Y 件 ,求這天顧客買走 5?X 件的概率 . 如果 20?Y 件呢 ? 例 11 (講義例 8)設(shè)隨機變量 ),( YX 的概率密度為 ????? ????.,0 。 問 X 和 Y 是否獨立 ? 例 6 設(shè) ),( YX 服從單位圓上的均勻分布,概率密度為 ??? ??? .,0 1,/1),( 22 其它 ,yxyxf ? 求 ).|(| xyf XY 例 7 (講義例 7)設(shè) ),。 (2) 兩個邊緣密度 . 二維均勻分布 例 9 設(shè)隨機變量 X 和 Y 具有聯(lián)合概率密度 ??? ??? 其它,0 ,6),( 2 xyxyxf 求邊緣概率密度 ),(xfX )(yfY . 例 10 (講義例 7) 設(shè) ),( YX 服從單位圓域 122 ??yx 上的均勻分布 , 求 X和 Y的邊緣概率密度 . 二維正態(tài)分布 例 11 (講義例 8) 設(shè)二維隨機變量 ),( YX 的概率密度 )s ins in1(21),( )(21 22 yxeyxf yx ?? ??? 試求關(guān)于 YX, 的邊緣概率密度函數(shù) . 課堂練習(xí) 3 個郵筒 , 設(shè) X ,Y 分別表示投入第 1, 2 號郵筒中信的數(shù)目 , 求X 和 Y 的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布 . ),( YX 的密度函數(shù) ),( yxf 的密度函數(shù)為 ??? ????? 其它,0 10,10,),( yxk x yyxf 求 (1) 參數(shù) k 的值;( 2) ),( YX 的邊緣密度 . 第二節(jié) 條件分布與隨機變量的獨立性 內(nèi)容分布圖示 ★ 條件分布的概念 ★ 例 1 ★ 隨機變量的獨立性 ★ 離散型隨機變量的條件分布與獨立性 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 連續(xù)型隨機變量的條件分布與獨立性 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 32 ★ 返回 內(nèi)容要點 : 一、 條件分布的概念 設(shè) X 是一個隨機變量 , 其分布函數(shù)為 ,},{)( ???????? xxXPxF X 若另外有一事件 A 已經(jīng)發(fā)生 , 并且 A 的發(fā)生可能會對事件 }{ xX? 發(fā)生的概率產(chǎn)生影響 , 則對任一給定的實數(shù) x , 記 ,},|{)|( ???????? xAxXPAxF 并稱 )|( AxF 為在 A 發(fā)生的條件下 , X 的 條件分布函數(shù) . 二、 隨機變量的獨立性 設(shè) A 是隨機變量 Y 所生成的事件 : }{ yYA ?? , 且 0}{ ??yYP , 則有 )( ),(}{ },{)|( yF yxFyYP yYxXPyYxF Y?? ????. 一般地 , 由于隨機變量 YX, 之間存在相互聯(lián)系 ,因而一個隨機變量的取值可能會影響另一個隨機變量的取值統(tǒng)計規(guī)律性 . 在何種情況下 , 隨機變量 YX, 之間沒有上述影響 , 而具有所謂的“獨立性” , 我們引入如下定 義 . 定義 設(shè)隨機變量 ),( YX 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ),( yxF , 邊緣分布函數(shù)為 )(xFX , )(yFY , 若對任意實數(shù) yx, ,有 },{}{},{ yYPxXPyYxXP ????? 即 ),()(),( yFxFyxF YX? 則稱隨機變量 X 和 Y 相互獨立 . 關(guān)于隨機變量的獨立性 , 有下列兩個定理 . 定理 1 隨機變量 X 與 Y 相互獨立的充要條件是 X 所生成的任何事件與 Y 生成的任何事件獨立 , 即 , 對任意實數(shù)集 BA, , 有 },{}{},{ BYPAXPBYAXP ????? 定理 2 如果隨機變 量 X 與 Y 相互獨立 , 則對任意函數(shù) ),(1xg )(2yg 均有 )(),( 21 YgXg 相互獨立 . 三、離散型隨機變量的條件分布與獨立性 設(shè) ),( YX 是二維離散型隨機變量 , 其概率分布為 ?,2,1,},{ ???? jipyYxXP ijji 則由條件概率公式 , 當(dāng) 0}{ ?? jyYP , 有 ?,2,1,}{ },{}|{ ??? ????? ? ippyYP yYxXPyYxXP jijj jiji 稱其為在 jyY? 條件下隨機變量 X 的 條件概率
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