概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布-展示頁
2024-09-01 11:53本頁面
【正文】 分布 . 對(duì)離散型隨機(jī)變量 ),( YX , 其獨(dú)立性的定義等價(jià)于 : 若對(duì) ),( YX 的所有可能取值 ),( ji xx 有 }{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ????? 即 ?,2,1, ?? ?? jippp jiij 則稱 X 和 Y 相互獨(dú)立 . 四、 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性 定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ),( YX 的概率密度為 ),( yxf ,邊緣概率密度為)(),( yfxf YX , 則對(duì)一切使 0)( ?xfX 的 x , 定義 在 xX? 的條件下 Y 的條件概率密度為 )( ),()|(| xf yxfxyf XXY ?. 類似地 , 對(duì)一切使 0)( ?yfY 的 y , 定義在 yY? 的條件下 X 的條件密度函數(shù)為 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX ?. 注 : 關(guān)于定義表達(dá)式內(nèi)涵的解釋 . 以 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX ? 為例 . 在上式左邊乘以 dx , 右邊乘以 dydxdy /)( 即得 }{ },{)( ),()|(| dyyYyP dyyYydxxXxPdyyf d x d yyxfdxyxf YYX ??? ???????? }.|{ dyyYydxxXxP ??????? 換句話說 , 對(duì)很小的 dx 和 dy , dxyxf YX )|(| 表示已知 Y 取值于 y 和 dyy? 之間的條件下 , X 取值于 x 和 dxx? 之間的條件概率 . 對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ),( YX , 其獨(dú)立性的定義等價(jià)于 : 若對(duì)任意的 yx, , 有 )()(),( yfxfyxf YX? 幾乎處處成立 , 則稱 YX, 相互獨(dú)立 . 注 : 這里“幾乎處處成立”的含義是 :在平面上除去面積為 0的集合外 ,處處成立 . 例題選講： 條件分布的概念 例 1 (講義例 1) 設(shè) X 服從 ]1,0[ 上的均勻分布 , 求在已知 21?X 的條件下 X 的條件分布函數(shù) . 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例 2 (講義例 2) 設(shè) X 與 Y 的聯(lián)合概率分布為 (1) 求 0?Y 時(shí) , X 的條件概率分布以及 0?X 時(shí) , Y 的條件概率分布 。1),(),()2( ??????? ???? ??? Fd x d yyxf (3) 設(shè) D 是 xOy 平面上的區(qū)域 ,點(diǎn) ),( YX 落入 D 內(nèi)的概率為 ???? D d x d yyxfDyxP ),(}),{( 特別地 , 邊緣分布函數(shù) },{}{)( ??????? YxXPxXPxF X ,),(),( ? ?? ? ?? ?????? ???? ???????? xx dsdttsfd s d ttsf 上式表明 : X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 , 且其密度函數(shù)為 : ,),()( ?????? dyyxfxf X 同理 , Y 是連續(xù)型隨機(jī)變量 , 且其密度函數(shù)為 : ?????? dxyxfyfY ),()( , 分別稱 )(xfX 和 )(yfY 為 ),( YX 關(guān)于 X 和 Y 的 邊緣密度函數(shù) . (4) 若 ),( yxf 在點(diǎn) ),( yx 連續(xù) , 則有 ).,(),(2 yxfyx yxF ???? 進(jìn)一步 , 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義 , 可推得 :當(dāng) yx??, 很小時(shí) , 有 ,),(},{ yxyxfyyYyxxXxP ??????????? 即 , ),( YX 落在區(qū)間 ],(],( yyyxxx ????? 上的概率近似等于 .),( yxyxf ?? 五、二維均勻分布 設(shè) G 是平面上的有界區(qū)域 ,其面積為 A .若二維隨機(jī)變量 ),( YX 具有概率密度函數(shù) ????? ??其它,0),(,1),( GyxAyxf 則稱 ),( YX 在 G 上服從 均勻分布 . 六、二維正態(tài)分布 若二維隨機(jī)變量 ),( YX 具有概率密度 ???????????????? ?????????? ????????? ?????????? ?????22222112112 2)1(2 1221 121),( ? ?? ?? ??? ??????yyxxeyxf 其中 ????? , 2121 均為常數(shù) ,且 1||,0,0 21 ??? ??? ,則稱 ),( YX 服從參數(shù)為 ????? , 2121的 二維正態(tài)分布 . 注： 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù) ? ，亦即對(duì)給定的 2121 , ???? ，不同的 ? 對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布，一般來說是不能確定二維隨機(jī)變量 ),( YX 的聯(lián)合分布的 . 例題選講： 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 例 1 (講義例 1) 設(shè)二維隨機(jī)變量 ),( yx 的分布函數(shù) 為 ?????????????????? ??????? ?? yxyCxBAyxF ,3a r c t a n2a r c t a n),( (1) 試確定常數(shù) ., CBA (2) 求事件 }30,2{ ?????? YX 的概率 . 二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布 例 2 (講義例 2) 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在 1~ X 中等可能地取一整數(shù)值，試求 ),( yx 的分布律 . 例 3 (講義例 3) 把一枚均勻硬幣拋擲三次 , 設(shè) X 為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) , 而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值 , 求 ),( YX 的概率分布及 ),( YX 關(guān)于 YX, 的邊緣分布 . 例 4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 Y X 2? 0 1 1? 1 0 2 0 求 }0,1{ ?? YXP 及 ).0,0(F 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 例 5 (講義例 4) ),( YX 的概率分布由表 3
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1