三、多維隨機(jī)變量及其分布-展示頁(yè)
2025-07-26 23:42本頁(yè)面
【正文】 c,d],且兩個(gè)條件分布也是均勻分布 . 性質(zhì) ： ),(~),( 222121 ?????NYX(1)兩個(gè)邊緣分布為正態(tài)分布 221 1 2 2~ ( , ) , ~ ( , ) .X N Y N? ? ? ?(2) X與 Y的線性組合仍服從 正態(tài)分布，即 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ~ ( , 2 )C X C Y N C C C C C C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?(3)X與 Y相互獨(dú)立 ,0?? (X與 Y不相關(guān) ) （ 任意兩個(gè)正態(tài)分布的和不一定服從正態(tài)分布 ） 兩個(gè)邊緣分布都是正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量 不一定服從二維正態(tài)分布 此時(shí)， 2 2 2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 2( ) ~ ( , )C X C Y N C C C C? ? ? ?? ? ?(4) X關(guān)于 Y=y(Y關(guān)于 X=x)的條件分布仍為 正態(tài)分布 : 2 2 2 2121 2 1 2 1 221( ( ) , ( 1 ) ) 。三、多維隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 考試內(nèi)容 設(shè) X1,X2,…, Xn為定義在同一樣本空間上的隨機(jī)變 量， 則稱這 n個(gè)隨機(jī)變量的整體 (X1,X2,…, Xn)為 n維 隨機(jī)變量 (或 n維隨機(jī)向量 ). （ 一 ） n維隨機(jī)變量與聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè) (X1,X2,…, Xn)為 n維隨機(jī)變量 ,則稱 Rn上的 n元 函數(shù) F(x1,x2,…, xn)=P(X1?x1,X2?x2,…, Xn?xn) (x1,x2,…, xn)?Rn 為 n維隨機(jī)變量 (X1,X2,…, Xn)的 聯(lián)合分布函數(shù) . n維隨機(jī)變量 (X1,X2,…, Xn)中每個(gè)變量 Xi的分布 函數(shù) FX(xi)稱為 邊緣分布函數(shù) ， i=1,2, … ,n. 設(shè) F(x,y)為聯(lián)合分布函數(shù)，關(guān)于 X和 Y的邊緣分布 函數(shù)分別 為 FX(x)和 FY(y) ，則有 ).,()(),()( yFyFxFxF YX ??????1. 聯(lián)合概率分布 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)的每個(gè)分量 X和 Y都是離 散型的 , 則稱 (X,Y)為 二維離散型隨機(jī)變量 . (二 )二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布有兩種表示： (1)設(shè) (X,Y)的一切可能值為 ?? ,2,1,2,1),( ?? jiyx ii則稱 ?,2,1,),( ???? jiyYxXPp jiij為 (X,Y)的聯(lián)合分布律，或聯(lián)合概率分布 . X Y y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … … … … … … … xi pi1 pi2 … pij … … … … … … … （ 2） (X,Y)的 聯(lián)合分布律 （表） 3. 聯(lián)合概率分布的性質(zhì) ? ? ??i jijijpp1)2(0)1(（非負(fù)性） （歸一性） (X,Y)的分量 X和 Y的分布律稱為其邊緣分布律 . 它與聯(lián)合分布的關(guān)系為 ( ) ( , ) , 1 , 2 ,i i i j ijjjp P X x P X x Y y p i? ? ? ? ? ? ? ???( ) ( , ) , 1 , 2 ,j j i j i jiip P Y y P X x Y y p j? ? ? ? ? ? ? ??? ( , )( ) , 1 , 2 ,()i j i jijijjjP X x Y y pp P X x Y y iP Y y p??? ? ? ? ? ??對(duì)固定的 j，若 則稱 ( ) 0 ,jjp P Y y? ? ?為 X關(guān)于 的 條件分布 . ()jYy?( , )( ) , 1 , 2 ,()i j ijjijiiiP X x Y y pp P Y y X x jP Y x p??? ? ? ? ? ??類似地，若 則稱 ( ) 0 ,iip P X x? ? ?為 Y關(guān)于 的 條件分布 . ()iXx?注 ： i j i jj i i jp p p p p? ? ? ?（三）二維連續(xù)型隨機(jī)變量 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y),如果存在 非負(fù)可積函數(shù) f(x,y),使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x,y,有 ? ?? ?? ??x y d u d vvufyxF ),(),(則稱 (X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x,y)為其 聯(lián)合 密度函數(shù) . 0),()1( ?yxf( 2 ) ( , ) 1f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ? ???（非負(fù)性） （歸一性） x y f(x,y) 二元概率密度函數(shù) f(x,y)從圖形上看是在 xoy平面上方的一個(gè)曲面 , 包圍著下方的體積為 1. 3. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的性質(zhì) 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y),密度函數(shù)為 f (x,y)， 則 （ 1） F(x,y)為二元連續(xù)函數(shù)； （ 2）對(duì)于任何平面曲線 L，有 （ 3）對(duì)于平面區(qū)域 D，有概率計(jì)算公式： （ 4）對(duì)于 f(x,y)的連續(xù)點(diǎn) (x,y)，有 。0]),[( ?? LYXP[ ( , ) ] ( , ) 。 ( ( ) , ( 1 ) )N y N x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?注 ：當(dāng) 時(shí) ,兩個(gè)條件分布就是相應(yīng)的邊緣分布 . 0? ?幾點(diǎn)注意： ( m a x ( , ) ) ( ) ( )( m a x ( , ) ) ( , )( m in ( , ) ) ( , )( m in ( , ) ) ( ) ( )( ( ) 2 ) ( ) ( )X Y C X C Y CX Y C X C Y CX Y C X C Y CX Y C X C Y CX Y C X C Y C? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?、邊緣分布和條件分布的關(guān)系 聯(lián)合分布 邊緣分布和條件分布 聯(lián)合分布 邊緣分布 獨(dú)立 i j i jj i i jp p p p p? ? ? ?( , ) ( ) ( ) ( ) ( )XY Y X X Yf x y f x f y x f y f x y??此時(shí)，離散型： 連續(xù)型： X,Y 相互獨(dú)立 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?X,Y 相互獨(dú)立 ?,2,1, ?? ?? jippp jiij考點(diǎn)與例題分析 考點(diǎn)一：聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的計(jì)算 考點(diǎn)二 :利用已知分布求相關(guān)事件的概率 考點(diǎn)三 : 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 考點(diǎn)四：隨機(jī)變量函數(shù)的分布 考點(diǎn)一：聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的計(jì)算 利用聯(lián)合分布與邊緣分布之間的關(guān)系、概率 密度或分布律自身的性質(zhì)如歸一性等 . 例 1 同一品種的 5個(gè)產(chǎn)品中 , 有 2個(gè)正品 , 每次從中 取 1個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)
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