概率論與數(shù)理統(tǒng)計多維隨機(jī)變量及其分布(參考版)
2024-08-24 11:53本頁面
【正文】 XYZ? （ 3） ? ? 。, 21 的 ? 分布 (分別記成212211 ,),(~),(~ XXXX ???? ?? 的概率密度分別為 ????? ?? ???其它,00,1)( /1)( 1111xexxf xX????? ????? ??? ??其它,00,)(1)( /12222 yeyyfyX??? ?? 試證明 21 XX? 服從參數(shù)為 ??? ,21? 的 ? 分布 . 商的分布 ：設(shè)二維隨機(jī)向量 ),( YX 的密度函數(shù)為 ),( yxf , 求YXZ?的密度函數(shù) . 例 10 在一簡單電路中 , 兩電阻 1R 和 2R 串聯(lián)連接 , 設(shè) 21,RR 相互獨(dú)立 ,它們的概率密度均為 ????? ????.,0100,5010)(其它xxxf 求總電阻 21 RRR ?? 的概率密度 . 例 11 (講義例 9) 設(shè) X與 Y相互獨(dú)立 , 它們都服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布 . 求YXZ?的密度函數(shù) . 積的分布 ： 設(shè) ),( 21 XX 具有密度函數(shù) ),( 21 xxf , 則 21XXY? 的概率密度為 .|| 1,)( ???? ??????? dzzzyzfyf Y 例 12 (講義例 10) 設(shè)二維隨機(jī)向量 ),( YX 在矩形 }10,20|),{( ????? yxyxG 上服從均勻分布 , 試求邊長為 X 和 Y 的矩形面積 S 的密度函數(shù) )(sf . 例 13 (講義例 11) 設(shè)隨機(jī)變量 21,XX 相互獨(dú)立 , 并且有相同的幾何分布 : 2,1,2,1,}{ 1 ???? ? ikpqkXP ki ?， pq ??1 求 ),max( 21 XXY ? 的分布 . 例 14 (講義例 12)設(shè)系統(tǒng) L 由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 21,LL 聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用（當(dāng)系統(tǒng) 1L 損壞時，系統(tǒng) 2L 開始工作），如圖 3— 3— 6所示 . 設(shè) 21,LL 的壽命分別為 YX, , 已知它們的概率密度分別為 ??? ??? ? ,0,0 ,0,)( xxexf xX ?? ??? ??? ? ,0,0 ,0,)( yyeyf yY ?? 其中 0,0 ?? ?? 且 .??? 試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出 L 壽 命 Z 的概率密度 . 課堂練習(xí) 1. 已知 ),( YX 的分布律為 Y X 0 1 2 0 1 求 : （ 1） 。()(}{}{ },{}{)( zFzFzYPzXP zYzXPzMPzF YXM ???? ????? 類似地 , 可得 ),min( YXN ? 的分布函數(shù) )].(1)][(1[1}{}{1 },{1}{1}{)( zFzFzYPzXP zYzXPzNPzNPzF YXN ???????? ????????? 例題選講： 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1 (講義例 1) 設(shè)隨機(jī)變量 ),( YX 的概率分布如下表 Y X 1? 0 1 2 1? 2 0 求二維隨機(jī)變量的函數(shù) Z的分布 : .)2(。 (3) 假設(shè)偏導(dǎo)數(shù) )2,1,2,1( ???? jiyhii存在且連續(xù) 。 (ii) },max{ YXZ ? 和 },min{ YXZ ? ，其中 X 與 Y 相互獨(dú)立 . 注：應(yīng)指出的是，將兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題推廣到 n 個隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問題只是表述和計算的繁雜程度的提高，并沒有本質(zhì)性的差異 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 ★ 例 4 ★ 連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的聯(lián)合概率密度 ★ 例 5 ★ 和的分布 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 商的分布 ★ 例 11 ★ 積的分布 ★ 例 12 ★ 最大、最小分布 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 33 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè) ),( YX 是二維離散型隨機(jī)變量 , ),( yxg 是一個二元函數(shù) , 則 ),( YXg 作為 ),( YX 的函數(shù)是一個隨機(jī)變量 , 如果 ),( YX 的概率分布為 ),2,1,(},{ ????? jipyYxXP ijji 設(shè) ),( YXgZ? 的所有可能取值為 ?,2,1, ?kzk , 則 Z 的概率分布為 ,},{}),({}{ ),( ? ? ??????kji zyxg jikkyYxXPzYXgPzZP ,2,1 ??k 二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè) ),( YX 是二維連續(xù)型隨機(jī)向量 , 其概率密度函數(shù)為 ),( yxf , 令 ),( yxg 為一個二元函數(shù) , 則 ),( YXg 是 ),( YX 的函數(shù) . 可用類似于求一元隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法來求 ),( YXgZ? 的分布 . a) 求分布函數(shù) ),(zFZ .),(}),{(}),({}{)( ?????????ZDZZ d x d yyxfDYXPzYXgPzZPzF 其中 , }.),(|),{( zyxgyxD Z ?? b) 求其概率密度函數(shù) )(zfZ , 對幾乎所有的 z, 有 ).()( zFzf ZZ ?? 定理 1 設(shè) ),( 21 XX 是具有密度函數(shù) ),( 21 xxf 的連續(xù)型隨機(jī)向量 . (1) 設(shè) ),(),( 21222111 xxgyxxgy ?? 是 2R 到自身的一
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