概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布-資料下載頁
2025-08-11 11:53本頁面
【導(dǎo)讀】是定義在同一個(gè)樣本空間??}{eS{某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童}上的兩個(gè)隨機(jī)變量.又如,考。下，我們不但要研究多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，一般無實(shí)質(zhì)性的困難,故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為}{eS?稱為二維隨機(jī)變量),(YX的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).對(duì)任意固定的,x當(dāng));,(),(,1212yxFyxFyy??則稱),,,(YX的概率密度(密度函數(shù)),或YX,分別稱),(YX關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù).進(jìn)一步,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,可推得:當(dāng)yx??上的概率近似等于.),(yxyxf??,,,,2121均為常數(shù),且1||,0,021??????,則稱),(YX服從參數(shù)為?????對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同。變量Y在1~X中等可能地取一整數(shù)值，試求),(yx的分布律.
【正文】 ax( YXM ? 及 ),min( YXN ? 的分布 設(shè)隨機(jī)變量 YX, 相互獨(dú)立 ,其分布函數(shù)分別為 )(xFX 和 )(yFY , 由于 ),max( YXM ? 不大于 z等價(jià)于 X 和 Y 都不大于 z, 故有 )。()(}{}{ },{}{)( zFzFzYPzXP zYzXPzMPzF YXM ???? ????? 類似地 , 可得 ),min( YXN ? 的分布函數(shù) )].(1)][(1[1}{}{1 },{1}{1}{)( zFzFzYPzXP zYzXPzNPzNPzF YXN ???????? ????????? 例題選講： 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1 (講義例 1) 設(shè)隨機(jī)變量 ),( YX 的概率分布如下表 Y X 1? 0 1 2 1? 2 0 求二維隨機(jī)變量的函數(shù) Z的分布 : .)2(。)1( XYZYXZ ??? 例 2 (講義例 2) 設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立 , ,),(~),(~ 21 pnbYpnbX 求 YXZ ?? 的分布 . 例 3 (講義例 3) 若 X 和 Y 相互獨(dú)立 , 它們分別服從參數(shù)為 21,?? 的泊松分布 , 證明YXZ ?? 服從 參數(shù)為 21 ??? 的泊松分布 . 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 4 (講義例 4) 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 , 且同服從 ]1,0[ 上的均勻分布 , 試求|| YXZ ?? 的分布函數(shù)與密度函數(shù) . 例 5 (講義例 5) 設(shè) ),( 21 XX 的密度函數(shù)為 ).,( 21 xxf 令 212211 , XXYXXY ???? 試用 f 表示 1Y 和 2Y 的聯(lián)合密度函數(shù) . 和的分布 ：設(shè) X 和 Y 的聯(lián)合密度為 ),( yxf , 求 YXZ ?? 的密度 . 卷積公式 : 當(dāng) X 和 Y 獨(dú)立時(shí) , 設(shè) ),( YX 關(guān)于 YX, 的邊緣密度分別為 ),(),( yfxf YX 則上述兩式化為 ????????????dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()( 以上兩個(gè)公式稱為 卷積公式 . 例 6 (講義例 6) 設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 . 它們都服從 )1,0(N 分布 , 其概率密度為 .,21)(,21)(2/2/22??????????????yeyfxexfyYxX?? .的概率密度求 YXZ ?? 例 7 (講義例 7) 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量 , 其概率密度函數(shù)為 ????? ???.,0 ,0,)( 其它 時(shí)當(dāng) xxexfx 如果各周的需要量相互獨(dú)立 , 求兩周需要量的概率密度函數(shù) . 例 8 設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立 , 且均在區(qū)間 ]1,0[ 上服從均勻分布 , 求 YXZ ?? 的密度函數(shù) . 例 9 (講義例 8) 設(shè) 21,XX 相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為 ???? ,。, 21 的 ? 分布 (分別記成212211 ,),(~),(~ XXXX ???? ?? 的概率密度分別為 ????? ?? ???其它,00,1)( /1)( 1111xexxf xX????? ????? ??? ??其它,00,)(1)( /12222 yeyyfyX??? ?? 試證明 21 XX? 服從參數(shù)為 ??? ,21? 的 ? 分布 . 商的分布 ：設(shè)二維隨機(jī)向量 ),( YX 的密度函數(shù)為 ),( yxf , 求YXZ?的密度函數(shù) . 例 10 在一簡(jiǎn)單電路中 , 兩電阻 1R 和 2R 串聯(lián)連接 , 設(shè) 21,RR 相互獨(dú)立 ,它們的概率密度均為 ????? ????.,0100,5010)(其它xxxf 求總電阻 21 RRR ?? 的概率密度 . 例 11 (講義例 9) 設(shè) X與 Y相互獨(dú)立 , 它們都服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布 . 求YXZ?的密度函數(shù) . 積的分布 ： 設(shè) ),( 21 XX 具有密度函數(shù) ),( 21 xxf , 則 21XXY? 的概率密度為 .|| 1,)( ???? ??????? dzzzyzfyf Y 例 12 (講義例 10) 設(shè)二維隨機(jī)向量 ),( YX 在矩形 }10,20|),{( ????? yxyxG 上服從均勻分布 , 試求邊長(zhǎng)為 X 和 Y 的矩形面積 S 的密度函數(shù) )(sf . 例 13 (講義例 11) 設(shè)隨機(jī)變量 21,XX 相互獨(dú)立 , 并且有相同的幾何分布 : 2,1,2,1,}{ 1 ???? ? ikpqkXP ki ?， pq ??1 求 ),max( 21 XXY ? 的分布 . 例 14 (講義例 12)設(shè)系統(tǒng) L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 21,LL 聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用（當(dāng)系統(tǒng) 1L 損壞時(shí)，系統(tǒng) 2L 開始工作），如圖 3— 3— 6所示 . 設(shè) 21,LL 的壽命分別為 YX, , 已知它們的概率密度分別為 ??? ??? ? ,0,0 ,0,)( xxexf xX ?? ??? ??? ? ,0,0 ,0,)( yyeyf yY ?? 其中 0,0 ?? ?? 且 .??? 試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出 L 壽 命 Z 的概率密度 . 課堂練習(xí) 1. 已知 ),( YX 的分布律為 Y X 0 1 2 0 1 求 : （ 1） 。YXZ ?? （ 2） 。XYZ? （ 3） ? ? 。2sin ?????? ?? YXZ ? （ 4） },max{ YXZ ? 的分布律 . 2. 若 X 和 Y 獨(dú)立 , 具有共同的概率密度 ??? ??? 其它,0 10,1)( xxf 求 YXZ ?? 的概率密度 .
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