【正文】 ? ?5 6 0?XP（ 2） ? ?2 0 05 0 0 ??XP? ? ,)3( ?? xXP如果 求 χ 例 .已知某區(qū) 5000名初二學(xué)生，數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績(jī) x服從正態(tài)分布 N(65,152)，求 50分到 80分之間 的學(xué)生人數(shù) . 則 P{50 x 80}=P(1?1) =?(1)?(1)=2?(1)1=. 6515x? ??這樣，在 50分到 80分之間的學(xué)生人數(shù)為 5 0 0 0 0 . 6 8 2 6 3 4 1 3?? 人解：令 例 .某區(qū)參加高考的考生 8000人的成績(jī) x服 從正態(tài)分布 .已知 ?=410分， ?=11分，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)估計(jì) 5200名考生能夠考上大學(xué)，問應(yīng)如何確定分?jǐn)?shù)線 . 解：設(shè)分?jǐn)?shù)線為 x0 ,依題意，考上大學(xué)的考生占 考生總?cè)藬?shù)的比例為 5200 0 .6 58000p ??即已知 P(xx0)=,由此來確定 x0 , 41011x? ??令? ?0 0 0410410{ 0 .6 51 1 1 1} xP P Px zx ?????? ? ? ? ?????x查表得： z0=,于是分?jǐn)?shù)線為： 0 11 410 406x ? ? ? ? ? （ 分 ）即應(yīng)選 406分以上的考生都能考上大學(xué) . 為什么說正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？ 正態(tài)分布表現(xiàn)為其取值具有對(duì)稱性，極大部分取值集中在以對(duì)稱點(diǎn)為中心的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，只有少量取值落在區(qū)間外。在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。如人的身體特征指標(biāo) (身高、體重 )，學(xué)習(xí)成績(jī)，產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)等等都服從正態(tài)分布。許多較復(fù)雜的指標(biāo)，只要在受到的大量因素作用下每個(gè)因素的影響都不顯著，且因素相互獨(dú)立，也可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。因此，可以說正態(tài)分布是最重要的分布。 例 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲(chǔ)著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器定在 d℃ ，液體的溫度 X（以 ℃ 計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且 X～ N(d,)。 (1)若 d=90，求 X89的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 ，問 d至少為多少？ 190 89 90{ 89 } 89 90( 2)1 ( 2) 1 .XP X P????? ? ????????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?解 （ ） 所 求 概 率 為( 2)80 { 80 } 80 8011 801 0 99 1 ( 7 ) ( 7 )80dX d dP X PX d d dPddd????? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????按 題 意 需 求 滿 足即 。亦 即故 需由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得， 這說明， X的取值幾乎全部集中在 [3,3]區(qū)間 內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到 %. 當(dāng) X～ N(0,1)時(shí)， P(|X| 1)=2 (1)1= ? ?? ?P(|X| 2)=2 (2)1= ? ?P(|X| 3)=2 (3)1= 四、 3 準(zhǔn)則 ?將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布 , 2X ~ ( , )N ?? 時(shí)， ( | X | ) 0 . 6 8 2 6P ??? ? ?( | X | 2 ) 0 . 9 5 4 4P ??? ? ?( | X | 3 ) 0 . 9 9 7 4P ??? ? ?可以認(rèn)為， X 的取值幾乎全部集中在 [ 3 , 3 ]? ? ? ??? 區(qū)間內(nèi) . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作 “ 3 準(zhǔn)則 ” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則） . ??3 準(zhǔn)則 的圖形表示 x ? ??? ??? ??? 3??? 3可以認(rèn)為， X 的取值幾乎全部集中在 ]3,3[ ???? ?? 區(qū)間內(nèi) . 典型例題 一、離散型隨機(jī)變量 （一）求概率分布 ，３件次品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取 一個(gè)，直到取到正品，就下列兩種取樣方式 a)放回取樣； b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布． p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次， 求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布． 3. 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為 p (0＜ p＜ 1）， 設(shè) X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求 X的分布列。 ，３件次品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取 一個(gè)，直到取到正品，就下列兩種取樣方式 a)放回取樣； b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù) Ｘ 的概率分布． 解： a)放回取樣 Ｘ 可取１，２，３， … ，概率分布為： ?,2,1,43)41(}{ 1 ???? ? kkXPp kkb)不放回取樣 Ｘ可取１，２，３，４，概率分布為： 43129}1{ ???XP119123}2{ ???XP109112123}3{ ????XP99101112123}4{ ?????XP p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)連續(xù)成功兩次， 求試驗(yàn)次數(shù) Ｘ 的概率分布． 解： Ｘ 可取２，３， … ，概率分布為 ?,3,2,)1(}{ 2221 1 ??????? ??? kqpkppqCkXPp kkkk ，出現(xiàn)正面的概率為 p (0＜ p＜ 1）， 設(shè) X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求 X的分布列。 pqkqppqkXP kk ?????? ?? 1,3,2,)( 11 其中? 。解： Ｘ可取２，３， … ，概率分布為 （二）概率分布已知，相關(guān)問題的計(jì)算 ４．設(shè) 離散型隨機(jī)變量 Ｘ 的概率分布為 X 0 1 3 7 P 0. 2 5 0 . 2 α 0 . 3 求 （１） α；（２）分布函數(shù)；（３） Ｐ ｛０＜ Ｘ ＜５｝ 解： (1)由 得 α＝ 1??k kp????? xx kkpxXPxF }{)().2(??????????????????7100xxxxx（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝ =Ｐ｛ X=1}+P{X=3}= （三）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算 ５．設(shè)離散型隨機(jī)變量 Ｘ 的分布函數(shù)為 ??????????????????5,153,31,10,0,0)(xxxxxxF求（１） Ｘ 的概率分布； （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝； 解： (1) P{X=0}=F(0)F(00) == P{X=1}=F(1)F(10) == P{X=3}=F(3)F(30) == P{X=5}=F(5)F(50) == （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝ =F(50)F(10) == (四）幾種重要分布 ６．一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行４次射擊，每次射擊的命中 率相同，如果至少命中一次的概率為 80/81，求該射手的命中率． 解： 設(shè) 該射手的命中率為 p, 命中次數(shù)為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(4,p) 由題意得 P{X≥1}=80/81, 所以 P{X＝ 0}=1/81 即 (1p)4=1/81 , 所以 p=2/3 ，設(shè)每個(gè)飲料瓶是否被打破相互 獨(dú)立，每個(gè)飲料瓶被打破的概率 ，求商店收到破碎瓶子數(shù) 分別是 (１ )恰有２只； (２ )小于２只； (３ )至少是１只的概率． 已知 e3= 解： 設(shè)收到的破碎瓶子數(shù) 為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(1000,) 由于 n較大， p較小，可用泊松定理作近似計(jì)算 λ＝ np=3 (1) P{X=2}≈(32/2!)e3≈ (2) P{X＜ 2}= P{X=0}+ P{X=1}≈ (30/0!)e3 +(31/1!)e3 =4e3 ≈ (3) P{X≥1}= 1 P{X=0}≈ 1 e3 ≈ 二、連續(xù)型隨機(jī)變量 （一）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算 １．設(shè)連續(xù)型 隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為 ????????? ?0,00,)( 22xxBeAxFx求 （１）Ａ和Ｂ； （３）隨機(jī)變量Ｘ的概率密度； }22{)2( ?? XP解： (1)利用 F(+∞)=1,及 F(x) 在 x=0處的連續(xù)性得： A=1 A+B=0 所以Ａ＝１， B= 1 ???????? ?0,00,)( 22xxexFx１－即：}22{)2( ?? XP=F(2) )2(F? 21 ?? ?? ee)()()3( xFxf ???????????0,00,22xxxex(二）概率密度已知， 相關(guān)問題的計(jì)算； ２． 設(shè)連續(xù)型 隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為 ?????? ?000)( 22xxeAxxf x求（１）Ａ； }210{)2( ?? XP }21{)3( ?XP解：由概率密度的性質(zhì)得： 1)( ?? ??? dxxf而 ?? ? ???? ? 0 22)( dxeAxdxxf x?? ? ??? ? ??0220228dtetAdxexA ttxx4)3(8AA ???所以 A=4 }210{)2( ?? XP?? ??? 21022210 4)( dxexdxxfx1251 ??? e0}21{)3( ??XP 隨機(jī)變量 Ｘ 的概率密度為 ???????????其它021210)( xxxxxp求分布函數(shù) Ｆ (x)． 解 由于 p ( x ) 是一個(gè)分段函數(shù)，相應(yīng)的積分 ???xdttp )( 也應(yīng)分段來求。 當(dāng) x 0 時(shí)， ? ??? ?? ??? x x dtdttpxF 。00)()(當(dāng) 0≤x＜ 1時(shí)， 200210)()( xt d tdtdttpxF xx ???? ?? ??? ??當(dāng) 1≤x＜ 2時(shí)， ??? ?????? ?? ?? xx dtttd tdtdttpxF 1100 )2(0)()(1212 2 ??? xx當(dāng) x≥2時(shí) , 10)2(0)()(221100 ??????? ???? ??? ??xx dtdtttd tdtdttpxF(三）正態(tài)分布的有關(guān)問題 １．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 ),(2??N，則隨 ? 的增大，概率 }{ ?? ??Xp （ ） （ A ）單調(diào)增加； （ B ）單調(diào)減少； （ C ）保持不變； （ D ）增減不定。2 ．設(shè) )4,(2?NX ～， )5,(2?NY ～，記 }4{1 ??? ?XPp ，}5{2 ??? ?YPp 則 (A) 對(duì)任意的 μ ，都有 21 pp ? ； ( B) 對(duì)任意的 μ ，都有 21 pp ? ； (C) 只有對(duì)個(gè)別值才有 21 pp ? ； (D) 對(duì)任意的 μ ，都有 21 pp ? ．４．某地外語成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)? ７２分，９６分以上占考生總數(shù) ％，求考生成績(jī)?cè)冢叮胺种? ８４分之間的概率． 解： 由題設(shè)知：外語成績(jī)Ｘ近似服從正態(tài)分布 X～ N（ μ,σ2） 其中 μ＝７２， σ2未知，由于 )24(1)7296(1}96{ ????????? ??XP即： )24( ?? ?查表得： 224 ??因此 σ=12 所以 )12 7260()12 7284(}8460{ ???????? XP68 )1(2)1()1( ?????????（四）隨機(jī)變量函數(shù)的分布 5 ．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為２的指數(shù)的分布，證明XeY 21 ??? 在 （０，１）內(nèi)均勻分布．解： Ｘ服從參數(shù)為２的指數(shù)分布 ?????? ?0002)( 2xxexf xxey