【導(dǎo)讀】本章討論多維隨機(jī)變量的問(wèn)題，重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量及其概率分布。，構(gòu)成的整體＝（，，?稱(chēng)二元函數(shù)為二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱(chēng)為（，）的分布函數(shù).則稱(chēng)函數(shù)和為二維隨機(jī)變量（，）的兩個(gè)分量和的邊緣分布函數(shù).01，對(duì)任意給定的，；對(duì)任意給定的，；關(guān)于和關(guān)于均右連續(xù)，即.判斷二元函數(shù)是不是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。=1-1-1+0=-1<0,不滿(mǎn)足第4條性質(zhì)，所以不是。定義：若二維隨機(jī)變量（X，Y）只取有限多對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)（），（＝1，2，?則稱(chēng)（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量.①設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為（），（＝1，2，?{Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，試求（X,Y）的分布律。F（x,y）=a，-∞<x<+∞，-∞<y<+∞.設(shè)（X，Y）服從下列區(qū)域D上的均勻分布，其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.求P{X+Y≤1}。

　　

【正文】 【例 4－ 28】設(shè)（ X， Y） 的密度函數(shù)為 求 cov（ X， Y） 【答疑編號(hào) 12040406】 例題 2. P106 【例 4－ 29】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成。求 X與 Y的協(xié)方差 cov（ X,Y） . 【答疑編號(hào) 12040407】 （ 5） 性質(zhì) ① cov （ X,Y） =cov（ Y,X）； ② cov （ aX,bY） =abcov（ X,Y），其中 a,b為任意常數(shù)； ③ ④ 若 X與 Y相互獨(dú)立，則 cov（ X,Y） =0. 例題 3. P106 【例 4－ 31】設(shè)（ X， Y）在圓域 D={（ x,y）︱ x2+y2≤1} 上服從均勻分布。求 cov（ X， Y），并判斷X， Y是否相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12040408】 但 f（ x,y） ≠f X（ x） f Y（ y） ,知 X， Y一定不相互獨(dú)立。 可見(jiàn) Cov（ X,Y） =0是 X與 Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。 （ 1） 定義 ：若 D（ X） 0， D（ Y） 0，稱(chēng) 為 X與 Y的相關(guān)系數(shù)，記為 ， 即 . 例題 4. P107 【例 4－ 33】接例 431，求（ X， Y）的相關(guān)系數(shù) ρ XY。 【答疑編號(hào) 12040501】 （ 2） 性質(zhì) ① ； 證明： ② 的充分必要條件是存在常數(shù) a， b，使 P{Y=aX+b}=1且 a≠0. （ 3）不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) ρ XY=0，則稱(chēng) X與 Y不相關(guān) . （ 4）相關(guān)系數(shù)的意義：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是它們之間線(xiàn)性關(guān)系程度的度量： ，表示它們之間存在完全線(xiàn)性關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系； ρ XY=0，表示它們之間無(wú)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，但是，不表示它們之間不存在其他相關(guān)關(guān)系； ，表示它們之間存在一定的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系 .若 ρ XY0，表示它們之間存在正線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，即上式中 a0；若 ρ XY0，表示它們之間存在負(fù)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，即上式中a0. （ 5） 兩個(gè)重要結(jié)論 ① 隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 X與 Y不相關(guān)；反之未必 . ② 若二維隨機(jī)變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，則 ρ XY=ρ ，且 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的兩個(gè)分量不相關(guān) 兩個(gè)分量相互獨(dú)立 . ρ=0. 例題 5. P109 【例 4－ 34】設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）， Cov（ X， Y）， ρ XY。 【答疑編號(hào) 12040502】 解： X,Y的分布律分別為 E（ Y） =（ 1） +1= E（ Y2） =（ 1） 2+1=1 D（ Y） =E（ Y2） E2（ Y） == 例題 6. P109 【例 4－ 35】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 求： （ 1） E（ X）， E（ Y）； 【答疑編號(hào) 12040503】 （ 2） D（ X）， D（ Y）； 【答疑編號(hào) 12040504】 （ 3） Cov（ X， Y）， ρ XY。 【答疑編號(hào) 12040505】 解： D（ Y） = D（ Y2） （ EY2） 例題 7. P111 【例 4－ 37】已知 D（ X） =4,D（ Y） =1,ρ XY=，求 D（ X+Y）， D（ 3X2Y）。 【答疑編號(hào) 12040506】 、協(xié)方差矩陣 （ 1）矩的定義：設(shè) X為隨機(jī)變量， k為正整數(shù)， ① 如果 E（ Xk）存在，則稱(chēng) E（ Xk）為 X的 k階原點(diǎn)矩，記為 vk=E（ Xk）； ② 如果 存在，則稱(chēng) 為 X的 k階中心矩，記為 ＝ . （ 2）兩種隨機(jī)變量的矩 ① 離散型隨機(jī)變量的矩：若離散型隨機(jī)變量 X的分布 律為 P{X=xi}=pi， i＝ 1， 2， ? ，則 ， . ② 連續(xù)型隨機(jī)變量的矩：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 ，則 ， . 顯然，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差 . （ 3）混合矩定義：設(shè) X， Y為隨機(jī)變量， ① 若 （ k,l＝ 1， 2， ? ）存在，則稱(chēng)其為 X和 Y的 階混合原點(diǎn)矩； ② 若 存在，則稱(chēng)其為 X和 Y的 階混合中心矩 . 顯然，協(xié)方差是二階混合中心矩 . （ 4）協(xié)方差矩陣 ① 二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣定義： 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的 4個(gè)二階中心矩為 C11=E[X1E（ X1） ] 2 =cov（ X1 ,X1） =D（ X1） , C12=E[（ X1E（ X1））（ X2E（ X2）） ] =cov（ X1 ,X2） , C21=E[（ X2E（ X2））（ X1E（ X1）） ] =cov（ X2 ,X1） , C22=E[（ X2E（ X2）） ] 2 =cov（ X2 ,X2） = D（ X2） , 則稱(chēng)矩陣 為二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的協(xié)方差矩陣 . ② n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣定義：設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的二階中心矩為 （ i,j＝ 1， 2， ? ， n）， 則稱(chēng)矩陣 為 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣 . 顯然，上述矩陣 C是正實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)陣，且其主對(duì)角線(xiàn)上的元素為 （ i＝ 1， 2， ? ， n）的方差 . 例題 8. P112 【例 4－ 38】設(shè)（ X,Y）的協(xié)方差矩陣為 ,求 ρ XY, 【答疑編號(hào) 12040601】 本章小結(jié) 一、內(nèi)容 二、試題選講 1.（ 407）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布，則下列結(jié)論中正確的是（ ） . A. E（ X） =， D（ X） = （ X） =， D（ X） = C. E（ X） =2， D（ X） =4 （ X） =D（ X） =2 【答疑編號(hào) 12040602】 答案： D 2.（ 708）設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 ，則 E（ x）＝（ ） . A. B. C. 【答疑編號(hào) 12040603】 答案： D 3.（ 1007）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 3的泊松分布， Y～ B（ 8， ），且 X， Y相互獨(dú)立，則 D（ X3Y4）＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040604】 答案： C 4.（ 709）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ B（ 36， ）， Y～ B（ 12， ），則 D（ XY+1）＝（ ） . A. B. C. D. 【答疑編號(hào) 12040605】 答案： C 5.（ 408）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ N（ 1， 4）， Y～ N（ 0， 1），則 D（ XY）＝（ ） . A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答疑編號(hào) 12040606】 答案： C 6.（ 720）設(shè)隨機(jī)變量 X， Y的分布律分別為 且 X與 Y相互獨(dú)立，則 E（ XY）＝ ______________. 【答疑編號(hào) 12040607】 答案：－ 7.（ 409）已知 D（ X）＝ 4， D（ Y）＝ 25， Cov（ X,Y）＝ 4，則 ＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040608】 答案： C 8.（ 1008）已知 D（ X）＝ 1， D（ Y）＝ 25， ＝ ，則 D（ XY）＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040609】 答案： B 9.（ 1022）設(shè)二維隨機(jī)變量 ～ ， ； ， ； ），且 X與 Y相互獨(dú)立，則 ρ ＝ ____________. 【答疑編號(hào) 12040610】 答案： 0 10.（ 428）設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 ，試求： （ 1）常數(shù) c； 【答疑編號(hào) 12040611】 （ 2） E（ X）， D（ X）； 【答疑編號(hào) 12040612】 （ 3） . 【答疑編號(hào) 12040613】 答案：（ 1） ；（ 2） 0， ；（ 3） 1