【正文】 （ 4）計(jì)算公式： cov（ X,Y） =E（ XY） E（ X） E（ Y） 特例：當(dāng) X=Y時(shí)， cov（ X,X） =D（ X） . 例題 1. P105 【例 4－ 28】設(shè)（ X， Y） 的密度函數(shù)為 求 cov（ X， Y） 【答疑編號(hào) 12040406】 例題 2. P106 【例 4－ 29】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成。 ① 定義：設(shè)隨機(jī)變量 X，且（ XE（ X）） 2的期望存在，則稱 E（ XE（ X）） 2為隨機(jī)變量 X 的方差，記為 D（ X），即 D（ X） =E（ XE（ X）） 2；又稱 為隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 . ② 若離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 P（ X=xk） =pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 16】設(shè)兩批纖維的長(zhǎng)度分別為隨機(jī)變量 X1， X2，其分布律分別為 求 D（ X1）， D（ X2）。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機(jī)變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑編號(hào) 12030301】 解： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2， 3， 因?yàn)槭录?Z=0｝ =｛ X=0， Y=0｝， 所以 因?yàn)槭录?{Z=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=0}，事件 {X=0， Y=1}與 {X=1， Y=0}互不相容，所以 事件 P{Z=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=1}，事件 {X=0， Y=2}與 {X=1， Y=1}互不相容，所以 事件｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z的分布律為 例 【例 325】設(shè) X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 證明 Z=X+Y～ 【答疑編號(hào) 12030302】 例題 3： P81 【例 326】 接例題 324，求： （ 1） Z=XY的分布律； 【答疑編號(hào) 12030303】 （ 2） P{X=Y}. 【答疑編號(hào) 12030304】 解（ 1） Z的可能值為 0， 1， 2. 由于 {Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以 同理 則 Z=XY的分布律為 （ 2） P{X=Y}=P{XY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} 兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布 例 4： P81 【例 327】設(shè) X與 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在 [0,1]服從平均分布， Y的概率密度為 求（ 1）（ X， Y）的概率密度； 【答疑編號(hào) 12030305】 （ 2） P（ X+Y≤1 ）； 【答疑編號(hào) 12030306】 （ 3） P{X+Y≤3} 【答疑編號(hào) 12030307】 解：（ 1） ∵X ， Y獨(dú)立 （ 2） （ 3） 求 Z=X+Y的概率密度 設(shè)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f（ x， y），關(guān)于 X， Y的邊緣概率 分別為 fx（ x）， fY（ y），又設(shè) X與 Y相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的概率密度： 這就是二維連續(xù)型獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式 . 注意：教材 82頁(yè) “F Z（ z） ” 改為 “f Z（ z） ” 例 5： P82 【例 328】設(shè) X， Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且 N（ 0， 1），求 Z=X+Y的概率密度。 【答疑編號(hào) 12030201】 解： 解：根據(jù)上圖， D的面積 ，所以（ X， Y）的概率密度為 事件 {X+Y≤1} 意味著隨機(jī)點(diǎn)（ X， Y）落在區(qū)域 上，則 （ 2）正態(tài)分布 ① 定義：若二維隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度為 [1]其中 都是常數(shù)，且 則稱（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為 [2]三維空間的曲面。 考點(diǎn)分析 選擇題 1題 2分 2題 2分 1題 2分 填空題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 計(jì)算題 1題 8分 1題 8分 1題 8分 綜合題 1題 4分 合計(jì) 4題 14分 5題 16分 4題 14分 內(nèi)容講解 167。P{Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 2）不放回摸球情況： 類似地有 P{X=0， Y=1}= P{X=1， Y=0}= P{X=1， Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 型隨機(jī)變量的概率密度 （ 1）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y，有 ， 則稱（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量；并稱 為（ X， Y）的概率密度或 X與 Y的聯(lián)合密度函數(shù) . （ 2）概率密度 的性質(zhì)： ① 非負(fù)； ② ； ③ 若 在 處連續(xù)，則有 ； ④ . 例題 7. P67 【例 3－ 7】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求（ X， Y）的分布函數(shù) F（ x,y） . 【答疑編號(hào) 12030110】 解： 例題 8. P67 【例 3－ 8】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的 分布函數(shù)為 F（ x,y） =a（ b+arctanx）（ c+arctan2y）， ∞x+∞ ， ∞y+∞. 求：（ 1）常數(shù) a,b,c； 【答疑編號(hào) 12030111】 （ 2）（ X， Y）的概率密度。設(shè) 1＜ a＜ 3,若事件求常數(shù) a的值。 （ 3）三種離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ① 兩點(diǎn)分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 其中 0p1，則 E（ X） =P. ② 二項(xiàng)分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 E（ X） =np. 證明： ③ 泊松分布 設(shè) X～ P（ λ ）其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 E（ X） = λ. 證明： 例題 3. P88 【例 4－ 3】設(shè)隨機(jī)變量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求參數(shù) p。 167。 【答疑編號(hào) 12040405】 幾種重要隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征匯總看表 41。 【答疑編號(hào) 12040501】 （ 2） 性質(zhì) ① ； 證明： ② 的充分必要條件是存在常數(shù) a， b，使 P{Y=aX+b}=1且 a≠0. （ 3）不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) ρ XY=0，則稱 X與 Y不相關(guān) . （ 4）相關(guān)系數(shù)的意義：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是它們之間線性關(guān)系程度的度量： ，表示它們之間存在完全線性關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系； ρ XY=0，表示它們之間無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，但是，不表示它們之間不存在其他相關(guān)關(guān)系； ，表示它們之間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系 .若 ρ XY0，表示它們之間存在正線性相關(guān)關(guān)系，即上式中 a0；若 ρ XY0，表示它們之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，即上式中a0. （ 5） 兩個(gè)重要結(jié)論 ① 隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 X與 Y不相關(guān)；反之未必 . ② 若二維隨機(jī)變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，則 ρ XY=ρ ，且 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的兩個(gè)分量不相關(guān) 兩個(gè)分量相互獨(dú)立 . ρ=0. 例題 5. P109 【例 4－ 34】設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）， Cov（ X， Y）， ρ XY。 【答疑編號(hào) 12040402】 例題 10. P102 【例 4－ 25】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 D（ X）。 【答疑編