自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其概率分布-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 量期望的乘積，即 E（ CX） =CE（ X）； （ 3）隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即 E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）； 證明： 綜合性質(zhì)（ 2）和（ 3），則有 E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1,C2為常數(shù) . 一般地， ，其中 Ci為常數(shù) . （ 4）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的乘積的期望等于隨機(jī)變量期望的乘積，即若 X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 E（ XY） =E（ X） E（ Y） . 例題 13. P94 【例 4－ 14】設(shè) Xi（ i=1， 2， ? ， n）服從 01分布 其中 0p1， q=1p，且 X1, X2,?X n相互獨(dú)立。 ① 定義：設(shè)隨機(jī)變量 X，且（ XE（ X）） 2的期望存在，則稱(chēng) E（ XE（ X）） 2為隨機(jī)變量 X 的方差，記為 D（ X），即 D（ X） =E（ XE（ X）） 2；又稱(chēng) 為隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 . ② 若離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 P（ X=xk） =pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 16】設(shè)兩批纖維的長(zhǎng)度分別為隨機(jī)變量 X1， X2，其分布律分別為 求 D（ X1）， D（ X2）。 【答疑編號(hào) 12040403】 （ 1）常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即 D（ C） =0， D（ X+C） =D（ X） . D（ X+C） =E[（ X+C） E（ X+C） ]2=E（ X+CE（ X） C） 2=E[XE（ X） ]2=D（ X）。 （ 1）定義：設(shè)二 維隨機(jī)變量（ X,Y），且 E（ X）， E（ Y）存在，如果 E[（ XE（ X））（ YE（ Y）） ]存在，則稱(chēng)之為 X與 Y的協(xié)方差，記為 cov（ X,Y），即 cov（ X,Y） =E[（ XE（ X））（ YE（ Y）） ]. （ 2）若 離散型 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的分布律為 ，（ i,j＝ 1， 2， ? ）， 則 . （ 3）若 連續(xù)型 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 f（ x,y）， 則 . （ 4）計(jì)算公式： cov（ X,Y） =E（ XY） E（ X） E（ Y） 特例：當(dāng) X=Y時(shí)， cov（ X,X） =D（ X） . 例題 1. P105 【例 4－ 28】設(shè)（ X， Y） 的密度函數(shù)為 求 cov（ X， Y） 【答疑編號(hào) 12040406】 例題 2. P106 【例 4－ 29】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成。 【答疑編號(hào) 12040502】 解： X,Y的分布律分別為 E（ Y） =（ 1） +1= E（ Y2） =（ 1） 2+1=1 D（ Y） =E（ Y2） E2（ Y） == 例題 6. P109 【例 4－ 35】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 求： （ 1） E（ X）， E（ Y）； 【答疑編號(hào) 12040503】 （ 2） D（ X）， D（ Y）； 【答疑編號(hào) 12040504】 （ 3） Cov（ X， Y）， ρ XY。f Y（ y） ,知 X， Y一定不相互獨(dú)立。 求 D（ 2XY）。 【答疑編號(hào) 12040304】 解： （ 1） 0－ 1分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 其中 0p1， 則 D（ X） =p（ 1p） . 證明： （ 2）二項(xiàng)分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 D（ X） =npq. 證明： （ 3）泊松分布 設(shè) X～ P（ λ ），其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 D（ X） =λ. 證明： 例題 5. P 100 【例 4－ 21】設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，且 P{X=1}=P{X=2}，求 D（ X）。 【答疑編號(hào) 12040208】 解：設(shè) Xi（ i=1,2,3,4）表示第 i個(gè)射手的得分，則它的分布律為 即 則 Xi的期望為 用 X表示 4個(gè)射手的總得分，則 X=X1+X2+X3+X4，從而 4人射擊總得分的期望為 E（ X） =E（ X1） +E（ X2） +E（ X3） +E（ X4） =4= 。 說(shuō)明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根據(jù)定義求 E（ Y） . 例題 8. P91 【例 4－ 9】風(fēng)速 V是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)它服從 [0,a]上均勻分布，其概率密度為 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的壓力 W是風(fēng)速 V的函數(shù)， W=kV2（ k0常數(shù)） ,求 W的數(shù)學(xué)期望。很明顯乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲。 【答疑編號(hào) 12030312】 答案： 4.（ 1020）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 則 【答疑編號(hào) 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 試問(wèn)： X與 Y是否相互獨(dú)立？為什么？ 【答疑編號(hào) 12030314】 答 案： X與 Y相互獨(dú)立 分析： Pij=Pi 【答疑編號(hào) 12030210】 解 由已知條件得 X， Y的概率密度分別為 因?yàn)?X與 Y相互獨(dú)立，所以（ X,Y）的概率密度為 （ 1） n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和概率密度 設(shè) n維隨機(jī)變量 其聯(lián)合分布函數(shù)為 若其概率密度為 則 其關(guān)于分量 的邊緣分布函數(shù)為 其關(guān)于分量 的邊緣密度函數(shù)為 （ 2） n維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立 ① 設(shè) n維隨機(jī)變量 若對(duì)一切 有 即 則稱(chēng) 是相互獨(dú)立的 . ② 性質(zhì) ⅰ ）若 是相互獨(dú)立的，則其中任意 個(gè)隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的； ⅱ ）若 是相互獨(dú)立的，則它們各自的函數(shù) 也是相互獨(dú)立的 . 例題 19： P78 【例 3－ 23】設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，都在區(qū)間 [1， 3]上服從均勻分布。 （ 1）定義：設(shè) F（ x,y）， FX（ x）和 FY（ y）分別是二維隨機(jī)變量（ x,y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y，有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）， 則稱(chēng) X與 Y相互獨(dú)立 . （ 2）等價(jià)關(guān)系： P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}. 例題 13： P73 【例 3－ 14】續(xù) 37證明 X與 Y相互獨(dú)立。P{Y=0}= P{X=1， Y=1}=P{X=1} 【答疑編號(hào) 12030102】 解： （ 3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機(jī)變量（ X， Y）分布律，可以求得其分布函數(shù) . 例題 3. P63 【例 3－ 3】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求：（ 1） P{X=0}； 【答疑編號(hào) 12030103】 （ 2） P{Y≤2} ； 【答疑編號(hào) 12030104】 （ 3） P{X1,Y≤2} ； 【答疑編號(hào) 12030105】 （ 4） P{X+Y=2} 【答疑編號(hào) 12030106】 （ 1） {X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3} （ 2） {Y=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=1} {Y=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=2}， （ 3） {X＜ 1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2}, 且事件 {X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜ 1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=+= （ 4） {X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1}, 類(lèi)似可得 P{X+Y=2}=P｛ X
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