【正文】 2）隨機(jī)變量 Z=XY的分布律 . 【答疑編號 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2 Z=XY的可能取值為 0， 1， 2 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 內(nèi)容介紹 本章主要討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)等 . 考點(diǎn)分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 3題 6分 3題 6分 3題 6分 填空題 2題 4分 2題 4分 1題 2分 計算題 1題 8分 1題 9分 綜合題 1題 12分 1題 12分 合計 6題 18分 7題 31分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。 【答疑編號 12040102】 解：分別計算 X和 Y的數(shù)學(xué)期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。 【答疑編號 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。 【答疑編號 12040106】 解： 例題 7. P89 【例 4－ 8】設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040202】 解： 例題 10. P91 【例 4－ 11】設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑編號 12040207】 解： 例題 14. P94 【例 4－ 15】 4個人進(jìn)行射擊比賽，每人射 4發(fā)，在射擊時，約定某人全部不中得 0分，只中一彈得 15分，中兩彈得 30分，中三彈得 55分，中四彈得 100分。 方差 期望反映了隨機(jī)變量的集中位置，但是，不能反映隨機(jī)變量的全部性質(zhì)，我們還需了解隨機(jī)變量的其他特征，其中重要的特征是隨機(jī)變量的離散趨勢。 【答疑編號 12040302】 ① 計算公式： D（ X） =E（ X2） （ E（ X）） 2. 證明： ② 若離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 18】設(shè)隨機(jī)變量 X的期望 E（ X） =2，方差 D（ X） =4，求 E（ X2）。 【答疑編號 12040401】 例題 9. P102 【例 4－ 24】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求 E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）。 將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項(xiàng)分布可知，二項(xiàng)分布隨機(jī)變量 X能表示成 n個相互獨(dú)立的兩點(diǎn)分布隨 機(jī)變量之和： X=X1+X2+?+X n，因?yàn)?Xi的方差為 pq,i=1， 2， ? ， n，則 D（ X） =D（ X1） +D（ X2） +?+ D （ Xn） =npq. 例題 11. P103 【例 4－ 26】設(shè) X1， X2， ?X n相互獨(dú)立， E（ Xi） =μ,D （ Xi） =σ 2（ i=1， 2， ? ， n），求的期望和方差。（ p104） 167。求 cov（ X， Y），并判斷X， Y是否相互獨(dú)立。 （ 1） 定義 ：若 D（ X） 0， D（ Y） 0，稱 為 X與 Y的相關(guān)系數(shù)，記為 ， 即 . 例題 4. P107 【例 4－ 33】接例 431，求（ X， Y）的相關(guān)系數(shù) ρ XY。 【答疑編號 12040506】 、協(xié)方差矩陣 （ 1）矩的定義：設(shè) X為隨機(jī)變量， k為正整數(shù)， ① 如果 E（ Xk）存在，則稱 E（ Xk）為 X的 k階原點(diǎn)矩，記為 vk=E（ Xk）； ② 如果 存在，則稱 為 X的 k階中心矩，記為 ＝ . （ 2）兩種隨機(jī)變量的矩 ① 離散型隨機(jī)變量的矩：若離散型隨機(jī)變量 X的分布 律為 P{X=xi}=pi， i＝ 1， 2， ? ，則 ， . ② 連續(xù)型隨機(jī)變量的矩：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 ，則 ， . 顯然，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差 . （ 3）混合矩定義：設(shè) X， Y為隨機(jī)變量， ① 若 （ k,l＝ 1， 2， ? ）存在，則稱其為 X和 Y的 階混合原點(diǎn)矩； ② 若 存在，則稱其為 X和 Y的 階混合中心矩 . 顯然，協(xié)方差是二階混合中心矩 . （ 4）協(xié)方差矩陣 ① 二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣定義： 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的 4個二階中心矩為 C11=E[X1E（ X1） ] 2 =cov（ X1 ,X1） =D（ X1） , C12=E[（ X1E（ X1））（ X2E（ X2）） ] =cov（ X1 ,X2） , C21=E[（ X2E（ X2））（ X1E（ X1）） ] =cov（ X2 ,X1） , C22=E[（ X2E（ X2）） ] 2 =cov（ X2 ,X2） = D（ X2） , 則稱矩陣 為二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的協(xié)方差矩陣 . ② n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣定義：設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的二階中心矩為 （ i,j＝ 1， 2， ? ， n）， 則稱矩陣 為 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣 . 顯然，上述矩陣 C是正實(shí)數(shù)對稱陣，且其主對角線上的元素為 （ i＝ 1， 2， ? ， n）的方差 . 例題 8. P112 【例 4－ 38】設(shè)（ X,Y）的協(xié)方差矩陣為 ,求 ρ XY, 【答疑編號 12040601】 本章小結(jié) 一、內(nèi)容 二、試題選講 1.（ 407）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布，則下列結(jié)論中正確的是（ ） . A. E（ X） =， D（ X） = （ X） =， D（ X） = C. E（ X） =2， D（ X） =4 （ X） =D（ X） =2 【答疑編號 12040602】 答案： D 2.（ 708）設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 ，則 E（ x）＝（ ） . A. B. C. 【答疑編號 12040603】 答案： D 3.（ 1007）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 3的泊松分布， Y～ B（ 8， ），且 X， Y相互獨(dú)立，則 D（ X3Y4）＝（ ） . 【答疑編號 12040604】 答案： C 4.（ 709）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ B（ 36， ）， Y～ B（ 12， ），則 D（ XY+1）＝（ ） . A. B. C. D. 【答疑編號 12040605】 答案： C 5.（ 408）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ N（ 1， 4）， Y～ N（ 0， 1），則 D（ XY）＝（ ） . A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答疑編號 12040606】 答案： C 6.（ 720）設(shè)隨機(jī)變量 X， Y的分布律分別為 且 X與 Y相互獨(dú)立，則 E（ XY）＝ ______________. 【答疑編號 12040607】 答案：－ 7.（ 409）已知 D（ X）＝ 4， D（ Y）＝ 25， Cov（ X,Y）＝ 4，則 ＝（ ） . 【答疑編號 12040608】 答案： C 8.（ 1008）已知 D（ X）＝ 1， D（ Y）＝ 25， ＝ ，則 D（ XY）＝（ ） . 【答疑編號 12040609】 答案： B 9.（ 1022）設(shè)二維隨機(jī)變量 ～ ， ； ， ； ），且 X與 Y相互獨(dú)立，則 ρ ＝ ____________. 【答疑編號 12040610】 答案： 0 10.（ 428）設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 ，試求： （ 1）常數(shù) c； 【答疑編號 12040611】 （ 2） E（ X）， D（ X）； 【答疑編號 12040612】 （ 3） . 【答疑編號 12040613】 答案：（ 1） ；（ 2） 0， ；（ 3） 1