【正文】 【例 3－ 1】 判斷二元函數(shù) 是不是某二維隨機變量的分布函數(shù)。第三章 多維隨機變量及其概率分布 內(nèi)容介紹 本章討論多維隨機變量的問題，重點討論二維隨機變量及其概率分布。 考點分析 選擇題 1題 2分 2題 2分 1題 2分 填空題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 計算題 1題 8分 1題 8分 1題 8分 綜合題 1題 4分 合計 4題 14分 5題 16分 4題 14分 內(nèi)容講解 167。 【答疑編號 12030101】 解：我們?nèi)?, = 111+0=10,不滿足第 4條性質(zhì)，所以不是。 【答疑編號 12030102】 解： （ 3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機變量（ X， Y）分布律，可以求得其分布函數(shù) . 例題 3. P63 【例 3－ 3】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求：（ 1） P{X=0}； 【答疑編號 12030103】 （ 2） P{Y≤2} ； 【答疑編號 12030104】 （ 3） P{X1,Y≤2} ； 【答疑編號 12030105】 （ 4） P{X+Y=2} 【答疑編號 12030106】 （ 1） {X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3} （ 2） {Y=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=1} {Y=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=2}， （ 3） {X＜ 1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2}, 且事件 {X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜ 1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=+= （ 4） {X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1}, 類似可得 P{X+Y=2}=P｛ X=0,Y=2｝ +P{X=1,Y=1}=+= 例題 4. P64 【例 3－ 4】現(xiàn)有 1， 2， 3三個整數(shù)， X表示從這三個數(shù)字中隨機抽取的一個整數(shù)， Y表示從 1至 X中隨機抽取的一個整數(shù)，試求（ X,Y）的分布律。P{Y=1|X=1} = ， ， ， 所以 {X， Y}的分布律為： （ 4）邊緣分布律： ① 定義：對于離散型隨機變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的分布律稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣分布律，記為 （或 ② 求法：它們可由（ X,Y）的分布律求出， ， . ③ 性質(zhì)： 例題 5. P64 【例 3－ 5】求例 34中（ X,Y）關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律。 例題 6. P65 【例 36】設(shè)盒中有 2個紅球 3個白球，從中每次任取一球，連續(xù)取兩次，記 X， Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個數(shù)，分別對有放回摸球與不放回摸球兩種情況求出（ X， Y）的分布律與邊緣分布律。P{Y=0}= P{X=0， Y=1}=P{X=0}P{Y=0}= P{X=1， Y=1}=P{X=1} 【答疑編號 12030112】 解： （ 1） （ 2） （ 1） 均勻分布 ① 定義：設(shè) D為平面上的有界區(qū)域，其面積為 S且 S＞ 0，如果二維隨機變量（ X,Y）的概率密度為 則稱（ X,Y）服從區(qū)域 D上的均勻分布（或稱（ X,Y）在 D上服從均勻分布），記作（ X,Y）～ UD。 【答疑編號 12030201】 解： 解：根據(jù)上圖， D的面積 ，所以（ X， Y）的概率密度為 事件 {X+Y≤1} 意味著隨機點（ X， Y）落在區(qū)域 上，則 （ 2）正態(tài)分布 ① 定義：若二維隨機變量（ X， Y）概率密度為 [1]其中 都是常數(shù)，且 則稱（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為 [2]三維空間的曲面。 【答疑編號 12030203】 解： 解：（ X,Y）的概率密度為 由于 于是 令 則有 因為 因而（ X,Y）關(guān)于 X的邊緣概率密度為 即 X～ N（ 0,1） , 類似可得（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 即 Y～ N（ 0,1） 例題 12. P71 【例 3－ 13】設(shè)（ X,Y）的概率密度為 求 【答疑編號 12030204】 解： 167。 （ 1）定義：設(shè) F（ x,y）， FX（ x）和 FY（ y）分別是二維隨機變量（ x,y）的分布函數(shù)和兩個邊緣分布函數(shù)，若對任意實數(shù) x， y，有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）， 則稱 X與 Y相互獨立 . （ 2）等價關(guān)系： P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}. 例題 13： P73 【例 3－ 14】續(xù) 37證明 X與 Y相互獨立。 【答疑編號 12030206】 解（ 1）有放回摸球情況：因為 所以 X與 Y相互獨立。P{Y=0} ， 所以 X與 Y不相互獨立。 【答疑編號 12030207】 解： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機變量，其概率密度及關(guān)于 X和 Y的邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， 和 則 X與 Y相互獨立的充分必要條件是等式 幾乎處處成立 . 例題 16： P75（相互獨立） 【例 3－ 17】證明 38中的 X與 Y相互獨立。 【答疑編號 12030210】 解 由已知條件得 X， Y的概率密度分別為 因為 X與 Y相互獨立，所以（ X,Y）的概率密度為 （ 1） n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和概率密度 設(shè) n維隨機變量 其聯(lián)合分布函數(shù)為 若其概率密度為 則 其關(guān)于分量 的邊緣分布函數(shù)為 其關(guān)于分量 的邊緣密度函數(shù)為 （ 2） n維隨機變量的相互獨立 ① 設(shè) n維隨機變量 若對一切 有 即 則稱 是相互獨立的 . ② 性質(zhì) ⅰ ）若 是相互獨立的，則其中任意 個隨機變量也是相互獨立的； ⅱ ）若 是相互獨立的，則它們各自的函數(shù) 也是相互獨立的 . 例題 19： P78 【例 3－ 23】設(shè)隨機變量 X與 Y相互獨立，都在區(qū)間 [1， 3]上服從均勻分布。 【答疑編號 12030211】 解： 167。 【答疑編號 12030301】 解： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2， 3， 因為事件｛ Z=0｝ =｛ X=0， Y=0｝， 所以 因為事件 {Z=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=0}，事件 {X=0， Y=1}與 {X=1， Y=0}互不相容，所以 事件 P{Z=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=1}，事件 {X=0， Y=2}與 {X=1， Y=1}互不相容，所以 事件｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z的分布律為 例 【例 325】設(shè) X,Y是相互獨立的隨機變量，且 證明 Z=X+Y～ 【答疑編號 12030302】 例題 3： P81 【例 326】 接例題 324，求： （ 1） Z=XY的分布律； 【答疑編號 12030303】 （ 2） P{X=Y}. 【答疑編號 12030304】 解（ 1） Z的可能值為 0， 1， 2. 由于 {Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以 同理 則 Z=XY的分布律為 （ 2） P{X=Y}=P{XY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} 兩個獨立連續(xù)型隨機變量之和的概率分布 例 4： P81 【例 327】設(shè) X與 Y