【文章內(nèi)容簡介】 X， Y）的分布律為 則 P{X+Y=0}=（ ）。 【答疑編號 12030310】 答案： C 2.（ 406）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則常數(shù) c=（ ）。 A. B. 【答疑編號 12030311】 答案： A 解析： 3.（ 417）設(shè)（ X， Y）～ N（ 0， 0， 1， 1， 0），則（ X， Y）關(guān)于Ｘ的邊緣概率密度 ＝ _____。 【答疑編號 12030312】 答案： 4.（ 1020）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則 【答疑編號 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 試問： X與 Y是否相互獨立？為什么？ 【答疑編號 12030314】 答 案： X與 Y相互獨立 分析： Pij=Pi Pj ，所以 X與 Y相互獨立 6.（ 426）設(shè)隨機變量 X與 Y相互獨立，且 X、 Y的分布律分別為 試求：（ 1）二維隨機變量（ X， Y）的分布律； 【答疑編號 12030315】 （ 2）隨機變量 Z=XY的分布律 . 【答疑編號 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2 Z=XY的可能取值為 0， 1， 2 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 內(nèi)容介紹 本章主要討論隨機變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)等 . 考點分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 3題 6分 3題 6分 3題 6分 填空題 2題 4分 2題 4分 1題 2分 計算題 1題 8分 1題 9分 綜合題 1題 12分 1題 12分 合計 6題 18分 7題 31分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。 隨機變量的期望 （ 1）期望的意義 引例： 一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入?yún)^(qū)域 e2得 2分，射入?yún)^(qū)域 e1得 1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域 e0，得 0分，射手每次射擊的得分?jǐn)?shù) X是一個隨機變量。 （ 2）定義：設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 若級數(shù) 絕對收斂（即級數(shù) 收斂），則定義 X的數(shù)學(xué)期望（簡稱均值或期望）為. 注：（ 1）當(dāng) X的可能取值為有限多個 x1， x2， ? ， xn時， ； （ 2）當(dāng) X的可能取值為可列多個 x1， x2， ? ， xn， ? 時 . 例題 1. P87 【例 4－ 1】設(shè)隨機變量 X的分布律為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040101】 例題 2. P87 【例 4－ 2】甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為 X， Y，它們的分布律分別為 試比 較他們成績的好壞。 【答疑編號 12040102】 解：分別計算 X和 Y的數(shù)學(xué)期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。 這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，甲所得分?jǐn)?shù)的平均值接近于 ，而乙得分的平均值接近 1分。很明顯乙的成績遠(yuǎn)不如甲。 （ 3）三種離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 ① 兩點分布 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 其中 0p1，則 E（ X） =P. ② 二項分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 E（ X） =np. 證明： ③ 泊松分布 設(shè) X～ P（ λ ）其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 E（ X） = λ. 證明： 例題 3. P88 【例 4－ 3】設(shè)隨機變量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求參數(shù) p。 【答疑編號 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。5= 。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑編號 12040104】 解： （ 4）離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 4－ 1 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 令 Y=g（ X），若級數(shù) 絕對收斂，則隨機變量 Y的數(shù)學(xué)期望為 . 例題 5. P88 【例 4－ 5】設(shè)隨機變量 X的分布律為 令 Y=2X+1，求 E（ Y） 【答疑編號 12040501】 （ 1）定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的概率密度 f（ x），若廣義積分 絕對收斂，則稱該積分為隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望（簡稱期望或均值），記為 E（ X），即 . 例題 6. P89 【例 4－ 7】 設(shè) 隨機變量 X的概率密度為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040106】 解： 例題 7. P89 【例 4－ 8】設(shè)隨機變量 X的概率密度函數(shù)為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040107】 （ 2）三種連續(xù)型隨機變量的期望 ① 均勻分布 設(shè) X～ U（ a,b）， 其概率密度為 ， 則 . 證明： ② 指數(shù)分布 設(shè) X～ E（ λ ），其概率密度為 ， 則 . 證明： ③ 正態(tài)分布 設(shè) X～ N（ μ,σ 2），其概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 E（ X） =μ. 證明： （ 3）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的期望 定理：設(shè) X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f（ x），又設(shè)隨機變量 Y=g（ X），若絕對收斂，則 。 說明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根據(jù)定義求 E（ Y） . 例題 8. P91 【例 4－ 9】風(fēng)速 V是一個隨機變量，設(shè)它服從 [0,a]上均勻分布，其概率密度為 又設(shè)飛機機翼受到的壓力 W是風(fēng)速 V的函數(shù)， W=kV2（ k0常數(shù)） ,求 W的數(shù)學(xué)期望。 【答疑編號 12040201】 解： 例題 9. P91 【例 4－ 10】設(shè) X的概率密度為 求 。 【答疑編號 12040202】 解： 例題 10. P91 【例 4－ 11】設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑編號 12040203】 解： （ 1）二維隨機變量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）為離散型隨機變量，其分布律為 ，邊緣分布律為 ， ，則 ， . （ 2）若（ X,Y）為連續(xù)型隨機變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），則 ， . （ 2）二維隨機變量函數(shù)的期望 定理 4－ 4： 設(shè) g（ x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（ X,Y）的函數(shù) Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）為離散型隨機變量，級數(shù) 絕對收斂，則 ； （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分 絕對收斂，則 . 例題 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑編號 12040204】 （ 2） E（ XY）。 【答疑編號 12040205】 解： 例題 12. P92 【例 4－ 13】設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑編號 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即 E（ C） =C， C為