【文章內容簡介】 X， Y）的分布律為 則 P{X+Y=0}=（ ）。 【答疑編號 12030310】 答案： C 2.（ 406）設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則常數(shù) c=（ ）。 A. B. 【答疑編號 12030311】 答案： A 解析： 3.（ 417）設（ X， Y）～ N（ 0， 0， 1， 1， 0），則（ X， Y）關于Ｘ的邊緣概率密度 ＝ _____。 【答疑編號 12030312】 答案： 4.（ 1020）設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則 【答疑編號 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）設二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 試問： X與 Y是否相互獨立？為什么？ 【答疑編號 12030314】 答 案： X與 Y相互獨立 分析： Pij=Pi Pj ，所以 X與 Y相互獨立 6.（ 426）設隨機變量 X與 Y相互獨立，且 X、 Y的分布律分別為 試求：（ 1）二維隨機變量（ X， Y）的分布律； 【答疑編號 12030315】 （ 2）隨機變量 Z=XY的分布律 . 【答疑編號 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2 Z=XY的可能取值為 0， 1， 2 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 內容介紹 本章主要討論隨機變量的數(shù)字特征：數(shù)學期望，方差標準差，協(xié)方差，相關系數(shù)等 . 考點分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 3題 6分 3題 6分 3題 6分 填空題 2題 4分 2題 4分 1題 2分 計算題 1題 8分 1題 9分 綜合題 1題 12分 1題 12分 合計 6題 18分 7題 31分 5題 20分 內容講解 167。 隨機變量的期望 （ 1）期望的意義 引例： 一射手進行打靶練習，規(guī)定射入?yún)^(qū)域 e2得 2分，射入?yún)^(qū)域 e1得 1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域 e0，得 0分，射手每次射擊的得分數(shù) X是一個隨機變量。 （ 2）定義：設離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 若級數(shù) 絕對收斂（即級數(shù) 收斂），則定義 X的數(shù)學期望（簡稱均值或期望）為. 注：（ 1）當 X的可能取值為有限多個 x1， x2， ? ， xn時， ； （ 2）當 X的可能取值為可列多個 x1， x2， ? ， xn， ? 時 . 例題 1. P87 【例 4－ 1】設隨機變量 X的分布律為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040101】 例題 2. P87 【例 4－ 2】甲乙兩人進行打靶，所得分數(shù)分別記為 X， Y，它們的分布律分別為 試比 較他們成績的好壞。 【答疑編號 12040102】 解：分別計算 X和 Y的數(shù)學期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。 這意味著，如果進行多次射擊，甲所得分數(shù)的平均值接近于 ，而乙得分的平均值接近 1分。很明顯乙的成績遠不如甲。 （ 3）三種離散型隨機變量的數(shù)學期望 ① 兩點分布 設離散型隨機變量 X的分布律為 其中 0p1，則 E（ X） =P. ② 二項分布 設 X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 E（ X） =np. 證明： ③ 泊松分布 設 X～ P（ λ ）其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 E（ X） = λ. 證明： 例題 3. P88 【例 4－ 3】設隨機變量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求參數(shù) p。 【答疑編號 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。5= 。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑編號 12040104】 解： （ 4）離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 定理 4－ 1 設離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 令 Y=g（ X），若級數(shù) 絕對收斂，則隨機變量 Y的數(shù)學期望為 . 例題 5. P88 【例 4－ 5】設隨機變量 X的分布律為 令 Y=2X+1，求 E（ Y） 【答疑編號 12040501】 （ 1）定義：設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度 f（ x），若廣義積分 絕對收斂，則稱該積分為隨機變量 X的數(shù)學期望（簡稱期望或均值），記為 E（ X），即 . 例題 6. P89 【例 4－ 7】 設 隨機變量 X的概率密度為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040106】 解： 例題 7. P89 【例 4－ 8】設隨機變量 X的概率密度函數(shù)為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040107】 （ 2）三種連續(xù)型隨機變量的期望 ① 均勻分布 設 X～ U（ a,b）， 其概率密度為 ， 則 . 證明： ② 指數(shù)分布 設 X～ E（ λ ），其概率密度為 ， 則 . 證明： ③ 正態(tài)分布 設 X～ N（ μ,σ 2），其概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 E（ X） =μ. 證明： （ 3）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的期望 定理：設 X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f（ x），又設隨機變量 Y=g（ X），若絕對收斂，則 。 說明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根據(jù)定義求 E（ Y） . 例題 8. P91 【例 4－ 9】風速 V是一個隨機變量，設它服從 [0,a]上均勻分布，其概率密度為 又設飛機機翼受到的壓力 W是風速 V的函數(shù)， W=kV2（ k0常數(shù)） ,求 W的數(shù)學期望。 【答疑編號 12040201】 解： 例題 9. P91 【例 4－ 10】設 X的概率密度為 求 。 【答疑編號 12040202】 解： 例題 10. P91 【例 4－ 11】設 X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑編號 12040203】 解： （ 1）二維隨機變量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）為離散型隨機變量，其分布律為 ，邊緣分布律為 ， ，則 ， . （ 2）若（ X,Y）為連續(xù)型隨機變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），則 ， . （ 2）二維隨機變量函數(shù)的期望 定理 4－ 4： 設 g（ x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（ X,Y）的函數(shù) Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）為離散型隨機變量，級數(shù) 絕對收斂，則 ； （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分 絕對收斂，則 . 例題 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑編號 12040204】 （ 2） E（ XY）。 【答疑編號 12040205】 解： 例題 12. P92 【例 4－ 13】設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑編號 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即 E（ C） =C， C為