自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其概率分布-文庫(kù)吧
2025-07-17 16:25 本頁(yè)面
【正文】 （ 2）正態(tài)分布 ① 定義：若二維隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度為 [1]其中 都是常數(shù)，且 則稱（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為 [2]三維空間的曲面。 （ 1）定義：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的概率密度稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣概率密度，簡(jiǎn)稱邊緣密度，記為 （ 2）求法：它們可由（ X,Y）的概率密度 f（ x， y）求出， 例題 10： P70 【例 3－ 10】設(shè)（ X,Y）在矩形域 D上服從均勻分布，其中 D： 求（ X,Y）的邊緣概率密度 【答疑編號(hào) 12030202】 解： 例題 11： P70 例 3－ 11 【例 3－ 11】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，且 求（ X,Y）關(guān)于 X,Y的邊緣概率密度。 【答疑編號(hào) 12030203】 解： 解：（ X,Y）的概率密度為 由于 于是 令 則有 因?yàn)? 因而（ X,Y）關(guān)于 X的邊緣概率密度為 即 X～ N（ 0,1） , 類似可得（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 即 Y～ N（ 0,1） 例題 12. P71 【例 3－ 13】設(shè)（ X,Y）的概率密度為 求 【答疑編號(hào) 12030204】 解： 167。 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 用兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性。 （ 1）定義：設(shè) F（ x,y）， FX（ x）和 FY（ y）分別是二維隨機(jī)變量（ x,y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y，有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）， 則稱 X與 Y相互獨(dú)立 . （ 2）等價(jià)關(guān)系： P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}. 例題 13： P73 【例 3－ 14】續(xù) 37證明 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12030205】 證明： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 其邊緣分布律為 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是，對(duì)一切 i， j有 反之，只要有一對(duì)（ i， j）使上式不成立， X與 Y就不相互獨(dú)立 . 例題 14： P74 【例 315】判斷 36中 X與 Y是否相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12030206】 解（ 1）有放回摸球情況：因?yàn)? 所以 X與 Y相互獨(dú)立。 （ 2）不放回摸球情況：因?yàn)? P{X=0， Y=0}≠P{X=0}P{Y=0} ， 所以 X與 Y不相互獨(dú)立。 例題 15： P75 【例 3－ 16】設(shè)（ X,Y）的分布律為 且 X與 Y相互獨(dú)立，求常數(shù) a,b之值。 【答疑編號(hào) 12030207】 解： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其概率密度及關(guān)于 X和 Y的邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， 和 則 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是等式 幾乎處處成立 . 例題 16： P75（相互獨(dú)立） 【例 3－ 17】證明 38中的 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12030208】 例題 17： P76 （不相互獨(dú)立） 【例 3－ 19】設(shè)（ X,Y）在以原點(diǎn)為圓心、半徑為 1的圓域上服從均勻分布，問(wèn) X與 Y是否相互獨(dú)立？ 【答疑編號(hào) 12030209】 解： 例題 18： P77（邊緣密度確定聯(lián)合密度 ） 【例 320】設(shè) X與 Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在 [1， 1]上服從均勻分布， Y服從參數(shù) λ=2 的指數(shù)分布，求：（ X,Y）的概率密度。 【答疑編號(hào) 12030210】 解 由已知條件得 X， Y的概率密度分別為 因?yàn)?X與 Y相互獨(dú)立，所以（ X,Y）的概率密度為 （ 1） n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和概率密度 設(shè) n維隨機(jī)變量 其聯(lián)合分布函數(shù)為 若其概率密度為 則 其關(guān)于分量 的邊緣分布函數(shù)為 其關(guān)于分量 的邊緣密度函數(shù)為 （ 2） n維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立 ① 設(shè) n維隨機(jī)變量 若對(duì)一切 有 即 則稱 是相互獨(dú)立的 . ② 性質(zhì) ⅰ ）若 是相互獨(dú)立的，則其中任意 個(gè)隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的； ⅱ ）若 是相互獨(dú)立的，則它們各自的函數(shù) 也是相互獨(dú)立的 . 例題 19： P78 【例 3－ 23】設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，都在區(qū)間 [1， 3]上服從均勻分布。設(shè) 1＜ a＜ 3,若事件求常數(shù) a的值。 【答疑編號(hào) 12030211】 解： 167。 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1： P80 【例 324】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 Z=X+Y的分布律。 【答疑編號(hào) 12030301】 解： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2， 3， 因?yàn)槭录?Z=0｝ =｛ X=0， Y=0｝， 所以 因?yàn)槭录?{Z=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=0}，事件 {X=0， Y=1}與 {X=1， Y=0}互不相容，所以 事件 P{Z=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=1}，事件 {X=0， Y=2}與 {X=1， Y=1}互不相容，所以 事件｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z的分布律為 例 【例 325】設(shè) X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 證明 Z=X+Y～ 【答疑編號(hào) 12030302】 例題 3： P81 【例 326】 接例題 324，求： （ 1） Z=XY的分布律； 【答疑編號(hào) 12030303】 （ 2） P{X=Y}. 【答疑編號(hào) 12030304】 解（ 1） Z的可能值為 0， 1， 2. 由于 {Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以 同理 則 Z=XY的分布律為 （ 2） P{X=Y}=P{XY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} 兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布 例 4： P81 【例 327】設(shè) X與 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在 [0,1]服從平均分布， Y的概率密度為 求（ 1）（ X， Y）的概率密度； 【答疑編號(hào) 12030305】 （ 2） P（ X+Y≤1 ）； 【答疑編號(hào) 12030306】 （ 3） P{X+Y≤3} 【答疑編號(hào) 12030307】 解：（ 1） ∵X ， Y獨(dú)立 （ 2） （ 3） 求 Z=X+Y的概率密度 設(shè)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f（ x， y），關(guān)于 X， Y的邊緣概率 分別為 fx（ x）， fY（ y），又設(shè) X與 Y相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的概率密度： 這就是二維連續(xù)型獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式 . 注意：教材 82頁(yè) “F Z（ z） ” 改為 “f Z（ z） ” 例 5： P82 【例 328】設(shè) X， Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且 N（ 0， 1），求 Z=X+Y的概率密度。 【答疑編號(hào) 12030308】 解： X,Y的概率密度分別為 則 Z的概率密度 令 注意：第二個(gè)等式用到 即 Z服從 N（ 0， 2）分布 . 一 般地 ,設(shè) X,Y相互獨(dú)立 ,且 通過(guò)類似計(jì)算可得 Z=X+Y仍服從正態(tài)分布 ,且有 例 6： P83 【例 329】設(shè) X～ N（ 3， 4）， Y～ N（ 1， 1）， Z～ N（ 0， 1）， X， Y,Z相互獨(dú)立，求 X+2Y+3Z的分布 . 【答疑編號(hào) 12030309】 二、試題選 講 1.（ 405）設(shè)二維隨機(jī)變量（
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1