【正文】 【答疑編號 12040502】 解： X,Y的分布律分別為 E（ Y） =（ 1） +1= E（ Y2） =（ 1） 2+1=1 D（ Y） =E（ Y2） E2（ Y） == 例題 6. P109 【例 4－ 35】設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求： （ 1） E（ X）， E（ Y）； 【答疑編號 12040503】 （ 2） D（ X）， D（ Y）； 【答疑編號 12040504】 （ 3） Cov（ X， Y）， ρ XY。f Y（ y） ,知 X， Y一定不相互獨立。 （ 1）定義：設二 維隨機變量（ X,Y），且 E（ X）， E（ Y）存在，如果 E[（ XE（ X））（ YE（ Y）） ]存在，則稱之為 X與 Y的協方差，記為 cov（ X,Y），即 cov（ X,Y） =E[（ XE（ X））（ YE（ Y）） ]. （ 2）若 離散型 二維隨機變量（ X,Y）的分布律為 ，（ i,j＝ 1， 2， ? ）， 則 . （ 3）若 連續(xù)型 二維隨機變量（ X,Y）的概率密度為 f（ x,y）， 則 . （ 4）計算公式： cov（ X,Y） =E（ XY） E（ X） E（ Y） 特例：當 X=Y時， cov（ X,X） =D（ X） . 例題 1. P105 【例 4－ 28】設（ X， Y） 的密度函數為 求 cov（ X， Y） 【答疑編號 12040406】 例題 2. P106 【例 4－ 29】設（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成。 求 D（ 2XY）。 【答疑編號 12040403】 （ 1）常數的方差等于零，隨機變量與常數之和的方差等于隨機變量的方差，即 D（ C） =0， D（ X+C） =D（ X） . D（ X+C） =E[（ X+C） E（ X+C） ]2=E（ X+CE（ X） C） 2=E[XE（ X） ]2=D（ X）。 【答疑編號 12040304】 解： （ 1） 0－ 1分布 設離散型隨機變量 X的分布律為 其中 0p1， 則 D（ X） =p（ 1p） . 證明： （ 2）二項分布 設 X～ B（ n,p），即 （ i＝ 1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 D（ X） =npq. 證明： （ 3）泊松分布 設 X～ P（ λ ），其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 D（ X） =λ. 證明： 例題 5. P 100 【例 4－ 21】設隨機變量 X服從參數為 λ 的泊松分布，且 P{X=1}=P{X=2}，求 D（ X）。 ① 定義：設隨機變量 X，且（ XE（ X）） 2的期望存在，則稱 E（ XE（ X）） 2為隨機變量 X 的方差，記為 D（ X），即 D（ X） =E（ XE（ X）） 2；又稱 為隨機變量 X的標準差 . ② 若離散型隨機變量 X的分布律為 P（ X=xk） =pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 16】設兩批纖維的長度分別為隨機變量 X1， X2，其分布律分別為 求 D（ X1）， D（ X2）。 【答疑編號 12040208】 解：設 Xi（ i=1,2,3,4）表示第 i個射手的得分，則它的分布律為 即 則 Xi的期望為 用 X表示 4個射手的總得分，則 X=X1+X2+X3+X4，從而 4人射擊總得分的期望為 E（ X） =E（ X1） +E（ X2） +E（ X3） +E（ X4） =4= 。 【答疑編號 12040205】 解： 例題 12. P92 【例 4－ 13】設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑編號 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常數的期望等于該常數，即 E（ C） =C， C為常數； （ 2）常數與隨機變量 X乘積的期望等于該常數與隨機變量期望的乘積，即 E（ CX） =CE（ X）； （ 3）隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即 E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）； 證明： 綜合性質（ 2）和（ 3），則有 E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1,C2為常數 . 一般地， ，其中 Ci為常數 . （ 4）兩個相互獨立的隨機變量的乘積的期望等于隨機變量期望的乘積，即若 X,Y為相互獨立的隨機變量，則 E（ XY） =E（ X） E（ Y） . 例題 13. P94 【例 4－ 14】設 Xi（ i=1， 2， ? ， n）服從 01分布 其中 0p1， q=1p，且 X1, X2,?X n相互獨立。 說明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根據定義求 E（ Y） . 例題 8. P91 【例 4－ 9】風速 V是一個隨機變量，設它服從 [0,a]上均勻分布，其概率密度為 又設飛機機翼受到的壓力 W是風速 V的函數， W=kV2（ k0常數） ,求 W的數學期望。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。很明顯乙的成績遠不如甲。 （ 2）定義：設離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 若級數 絕對收斂（即級數 收斂），則定義 X的數學期望（簡稱均值或期望）為. 注：（ 1）當 X的可能取值為有限多個 x1， x2， ? ， xn時， ； （ 2）當 X的可能取值為可列多個 x1， x2， ? ， xn， ? 時 . 例題 1. P87 【例 4－ 1】設隨機變量 X的分布律為 求 E（ X）。 【答疑編號 12030312】 答案： 4.（ 1020）設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則 【答疑編號 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）設二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 試問： X與 Y是否相互獨立？為什么？ 【答疑編號 12030314】 答 案： X與 Y相互獨立 分析： Pij=Pi 【答疑編號 12030301】 解： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2， 3， 因為事件｛ Z=0｝ =｛ X=0， Y=0｝， 所以 因為事件 {Z=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=0}，事件 {X=0， Y=1}與 {X=1， Y=0}互不相容，所以 事件 P{Z=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=1}，事件 {X=0， Y=2}與 {X=1， Y=1}互不相容，所以 事件｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z的分布律為 例 【例 325】設 X,Y是相互獨立的隨機變量，且 證明 Z=X+Y～ 【答疑編號 12030302】 例題 3： P81 【例 326】 接例題 324，求： （ 1） Z=XY的分布律； 【答疑編號 12030303】 （ 2） P{X=Y}. 【答疑編號 12030304】 解（ 1） Z的可能值為 0， 1， 2. 由于 {Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以 同理 則 Z=XY的分布律為 （ 2） P{X=Y}=P{XY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} 兩個獨