【正文】 立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布 例 4： P81 【例 327】設(shè) X與 Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在 [0,1]服從平均分布， Y的概率密度為 求（ 1）（ X， Y）的概率密度； 【答疑編號 12030305】 （ 2） P（ X+Y≤1 ）； 【答疑編號 12030306】 （ 3） P{X+Y≤3} 【答疑編號 12030307】 解：（ 1） ∵X ， Y獨(dú)立 （ 2） （ 3） 求 Z=X+Y的概率密度 設(shè)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f（ x， y），關(guān)于 X， Y的邊緣概率 分別為 fx（ x）， fY（ y），又設(shè) X與 Y相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的概率密度： 這就是二維連續(xù)型獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式 . 注意：教材 82頁 “F Z（ z） ” 改為 “f Z（ z） ” 例 5： P82 【例 328】設(shè) X， Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且 N（ 0， 1），求 Z=X+Y的概率密度。 【答疑編號 12030210】 解 由已知條件得 X， Y的概率密度分別為 因?yàn)?X與 Y相互獨(dú)立，所以（ X,Y）的概率密度為 （ 1） n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和概率密度 設(shè) n維隨機(jī)變量 其聯(lián)合分布函數(shù)為 若其概率密度為 則 其關(guān)于分量 的邊緣分布函數(shù)為 其關(guān)于分量 的邊緣密度函數(shù)為 （ 2） n維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立 ① 設(shè) n維隨機(jī)變量 若對一切 有 即 則稱 是相互獨(dú)立的 . ② 性質(zhì) ⅰ ）若 是相互獨(dú)立的，則其中任意 個隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的； ⅱ ）若 是相互獨(dú)立的，則它們各自的函數(shù) 也是相互獨(dú)立的 . 例題 19： P78 【例 3－ 23】設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，都在區(qū)間 [1， 3]上服從均勻分布。P{Y=0} ， 所以 X與 Y不相互獨(dú)立。 （ 1）定義：設(shè) F（ x,y）， FX（ x）和 FY（ y）分別是二維隨機(jī)變量（ x,y）的分布函數(shù)和兩個邊緣分布函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù) x， y，有 F（ x,y） = FX（ x） FY（ y）， 則稱 X與 Y相互獨(dú)立 . （ 2）等價關(guān)系： P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}. 例題 13： P73 【例 3－ 14】續(xù) 37證明 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號 12030201】 解： 解：根據(jù)上圖， D的面積 ，所以（ X， Y）的概率密度為 事件 {X+Y≤1} 意味著隨機(jī)點(diǎn)（ X， Y）落在區(qū)域 上，則 （ 2）正態(tài)分布 ① 定義：若二維隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度為 [1]其中 都是常數(shù)，且 則稱（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為 [2]三維空間的曲面。P{Y=0}= P{X=1， Y=1}=P{X=1} 例題 6. P65 【例 36】設(shè)盒中有 2個紅球 3個白球，從中每次任取一球，連續(xù)取兩次，記 X， Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個數(shù)，分別對有放回摸球與不放回摸球兩種情況求出（ X， Y）的分布律與邊緣分布律。 【答疑編號 12030102】 解： （ 3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機(jī)變量（ X， Y）分布律，可以求得其分布函數(shù) . 例題 3. P63 【例 3－ 3】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求：（ 1） P{X=0}； 【答疑編號 12030103】 （ 2） P{Y≤2} ； 【答疑編號 12030104】 （ 3） P{X1,Y≤2} ； 【答疑編號 12030105】 （ 4） P{X+Y=2} 【答疑編號 12030106】 （ 1） {X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3} （ 2） {Y=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=1} {Y=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=2}， （ 3） {X＜ 1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2}, 且事件 {X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜ 1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=+= （ 4） {X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1}, 類似可得 P{X+Y=2}=P｛ X=0,Y=2｝ +P{X=1,Y=1}=+= 例題 4. P64 【例 3－ 4】現(xiàn)有 1， 2， 3三個整數(shù)， X表示從這三個數(shù)字中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)， Y表示從 1至 X中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)，試求（ X,Y）的分布律。 考點(diǎn)分析 選擇題 1題 2分 2題 2分 1題 2分 填空題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 計(jì)算題 1題 8分 1題 8分 1題 8分 綜合題 1題 4分 合計(jì) 4題 14分 5題 16分 4題 14分 內(nèi)容講解 167。 多維隨機(jī)變量的概念 1. 維隨機(jī)變量的概念： 個隨機(jī)變量 ， ， ? ， 構(gòu)成的整體 ＝（ ， ， ? ， ）稱為一個 維隨機(jī)變量，稱為 的第 個分量（ ） . ： 設(shè)（ ， ）為一個二維隨機(jī)變量，記 ， ， ， 稱二元函數(shù) 為二維 隨機(jī)變量（ ， ）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（ ， ）的分布函數(shù) . 記函數(shù) ＝ ＝ ， 則稱函數(shù) 和 為二維隨機(jī)變量（ ， ）的兩個分量 和 的邊緣分布函數(shù) . 3. 二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)： （ 1） 是變量 （或 ）的不減函數(shù)； （ 2） 0 1，對任意給定的 ， ；對任意給定的 ， ； ， ； （ 3） 關(guān)于 和關(guān)于 均右連續(xù)，即 . （ 4）對任意給定的 ，有 . 例題 1. P62 【例 3－ 1】 判斷二元函數(shù) 是不是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 【答疑編號 12030107】 解： P{X=1， Y=1} =P{X=1} 【答疑編號 12030109】 解：（ 1）有放回摸球情況： 由于事件 {X=i}與事件 {Y=j}相互獨(dú)立（ i， j=0， 1），所以 P{X=0， Y=0}=P{X=0}P{Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 2）不放回摸球情況： 類似地有 P{X=0， Y=1}= P{X=1， Y=0}= P{X=1， Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 型隨機(jī)變量的概率密度 （ 1）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對任意實(shí)數(shù) x， y，有 ， 則稱（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量；并稱 為（ X， Y）的概率密度或 X與 Y的聯(lián)合密度函數(shù) . （ 2）概率密度 的性質(zhì)： ① 非負(fù)； ② ； ③ 若 在 處連續(xù)，則有 ； ④ . 例題 7. P67 【例 3－ 7】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求（ X， Y）的分布函數(shù) F（ x,y） . 【答疑編號 12030110】 解： 例題 8. P67 【例 3－ 8】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的 分布函數(shù)為 F（ x,y） =a（ b+arctanx）（ c+arctan2y）， ∞x+∞ ， ∞y+∞. 求：（ 1）常數(shù) a,b,c； 【答疑編號 12030111】 （ 2）（ X， Y）的概率密度。 （ 1）定義：對于連續(xù)型隨機(jī)變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的概率密度稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為 （ 2）求法：它們可由（ X,Y）的概率密度 f（ x， y）求出， 例題 10： P70 【例 3－ 10】設(shè)（ X,Y）在矩形域 D上服從均勻分布，其中 D： 求（ X,Y）的邊緣概率密度 【答疑編