【正文】 【例 4－ 3】設(shè)隨機變量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求參數(shù) p。 這意味著，如果進行多次射擊，甲所得分數(shù)的平均值接近于 ，而乙得分的平均值接近 1分。 【答疑編號 12040101】 例題 2. P87 【例 4－ 2】甲乙兩人進行打靶，所得分數(shù)分別記為 X， Y，它們的分布律分別為 試比 較他們成績的好壞。 隨機變量的期望 （ 1）期望的意義 引例： 一射手進行打靶練習，規(guī)定射入?yún)^(qū)域 e2得 2分，射入?yún)^(qū)域 e1得 1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域 e0，得 0分，射手每次射擊的得分數(shù) X是一個隨機變量。 P A. B. 【答疑編號 12030311】 答案： A 解析： 3.（ 417）設(shè)（ X， Y）～ N（ 0， 0， 1， 1， 0），則（ X， Y）關(guān)于Ｘ的邊緣概率密度 ＝ _____。 【答疑編號 12030308】 解： X,Y的概率密度分別為 則 Z的概率密度 令 注意：第二個等式用到 即 Z服從 N（ 0， 2）分布 . 一 般地 ,設(shè) X,Y相互獨立 ,且 通過類似計算可得 Z=X+Y仍服從正態(tài)分布 ,且有 例 6： P83 【例 329】設(shè) X～ N（ 3， 4）， Y～ N（ 1， 1）， Z～ N（ 0， 1）， X， Y,Z相互獨立，求 X+2Y+3Z的分布 . 【答疑編號 12030309】 二、試題選 講 1.（ 405）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 則 P{X+Y=0}=（ ）。 兩個隨機變量的函數(shù)的分布 例 1： P80 【例 324】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 Z=X+Y的分布律。設(shè) 1＜ a＜ 3,若事件求常數(shù) a的值。 【答疑編號 12030208】 例題 17： P76 （不相互獨立） 【例 3－ 19】設(shè)（ X,Y）在以原點為圓心、半徑為 1的圓域上服從均勻分布，問 X與 Y是否相互獨立？ 【答疑編號 12030209】 解： 例題 18： P77（邊緣密度確定聯(lián)合密度 ） 【例 320】設(shè) X與 Y為相互獨立的隨機變量， X在 [1， 1]上服從均勻分布， Y服從參數(shù) λ=2 的指數(shù)分布，求：（ X,Y）的概率密度。 例題 15： P75 【例 3－ 16】設(shè)（ X,Y）的分布律為 且 X與 Y相互獨立，求常數(shù) a,b之值。 （ 2）不放回摸球情況：因為 P{X=0， Y=0}≠P{X=0} 【答疑編號 12030205】 證明： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機變量，其分布律為 其邊緣分布律為 X與 Y相互獨立的充分必要條件是，對一切 i， j有 反之，只要有一對（ i， j）使上式不成立， X與 Y就不相互獨立 . 例題 14： P74 【例 315】判斷 36中 X與 Y是否相互獨立。 隨機變量的獨立性 用兩個隨機事件的獨立性導出兩個隨機變量的獨立性。 （ 1）定義：對于連續(xù)型隨機變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的概率密度稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為 （ 2）求法：它們可由（ X,Y）的概率密度 f（ x， y）求出， 例題 10： P70 【例 3－ 10】設(shè)（ X,Y）在矩形域 D上服從均勻分布，其中 D： 求（ X,Y）的邊緣概率密度 【答疑編號 12030202】 解： 例題 11： P70 例 3－ 11 【例 3－ 11】設(shè)二維隨機變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，且 求（ X,Y）關(guān)于 X,Y的邊緣概率密度。 ② 兩種特殊區(qū)域的情況： ⅰ.D 為矩形區(qū)域 a≤x≤b ， c≤y≤d ，此時 ⅱ.D 為圓形區(qū)域，如（ X,Y）在以原點為中心， R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（ X,Y）概率密度為 例題 9： P68 【例 3－ 9】設(shè)（ X， Y）服從下列區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D： x≥y,0≤x≤1,y≥0. 求 P{X+Y≤1} 。P{Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 2）不放回摸球情況： 類似地有 P{X=0， Y=1}= P{X=1， Y=0}= P{X=1， Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 型隨機變量的概率密度 （ 1）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y），若存在非負可積函數(shù) ，使得對任意實數(shù) x， y，有 ， 則稱（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量；并稱 為（ X， Y）的概率密度或 X與 Y的聯(lián)合密度函數(shù) . （ 2）概率密度 的性質(zhì)： ① 非負； ② ； ③ 若 在 處連續(xù)，則有 ； ④ . 例題 7. P67 【例 3－ 7】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求（ X， Y）的分布函數(shù) F（ x,y） . 【答疑編號 12030110】 解： 例題 8. P67 【例 3－ 8】設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的 分布函數(shù)為 F（ x,y） =a（ b+arctanx）（ c+arctan2y）， ∞x+∞ ， ∞y+∞. 求：（ 1）常數(shù) a,b,c； 【答疑編號 12030111】 （ 2）（ X， Y）的概率密度。P{Y=1}= P{X=1， Y=0}=P{X=1} 【答疑編號 12030109】 解：（ 1）有放回摸球情況： 由于事件 {X=i}與事件 {Y=j}相互獨立（ i， j=0， 1），所以 P{X=0， Y=0}=P{X=0} 【答疑編號 12030108】 解： X與 Y的可能值均為 1， 2， 3. （ X， Y）關(guān)于 X的邊緣分布律為： （ X， Y）關(guān) 于 Y的邊緣分布律為： 可以將（ X， Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上： 值得注意的是：對于二維離散型隨機變量（ X， Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個邊緣分布，但在一般情況下，由（ X， Y）的兩個邊緣分布律是不能確定（ X， Y）的分布律的。 【答疑編號 12030107】 解： P{X=1， Y=1} =P{X=1} （ 1）定義：若二維隨機變量（ X， Y）只取有限多對或可列無窮多對（ ），（ ＝ 1， 2， ? ），則稱（ X， Y）為二維離散型隨機變量 . （ 2）分布律： ① 設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的所有可能取值為（ ），（ ＝ 1， 2， ? ），（ X， Y）的各個可能取值的概率為 ，（ ＝ 1， 2， ? ）， 稱 ，（ ＝ 1， 2， ? ）為（ X， Y）的分布律 . （ X， Y）的分布律還可以寫成如下列表形式 ② （ X， Y）分布律的性質(zhì) [1] ，（ ＝ 1， 2， ? ）； [2] 例題 2. P62 【例 3－ 2】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 a的值。 多維隨機變量的概念 1. 維隨機變量的概念： 個隨機變量 ， ， ? ， 構(gòu)成的整體 ＝（ ， ， ? ， ）稱為一個 維隨機變量，稱為 的第 個分量（ ） . ： 設(shè)（ ， ）為一個二維隨機變量，記 ， ， ， 稱二元函數(shù) 為二維 隨機變量（ ， ）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（ ， ）的分布函數(shù) . 記函數(shù) ＝ ＝ ， 則稱函數(shù) 和 為二維隨機變量（ ， ）的兩個分量 和 的邊緣分布函數(shù) . 3. 二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)： （ 1） 是變量 （或 ）的不減函數(shù)； （ 2） 0 1，對任意給定的 ， ；對任意給定的 ， ； ， ； （ 3） 關(guān)于 和關(guān)于 均右連續(xù)，即 . （ 4）對任意給定的 ，有 . 例題 1. P62