【正文】 x0時 FX(x)=0 ∴ f X(x)=0 x≥0時 ? ?? ??? ?? 0 2)(2X 24)( xyx edyexf∴ f X(x)＝ 2e2x ， x≥0 0 ， x0 f Y(y)= 2e2y ， y≥0 0 ， y0 解： 同理 ??? ????????? ??其他,00,0,4),( )(2 yxeyxf yx上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定義 2 如果 (X,Y)的概率密度為 212221 1 221 1 21( , )212 ( ) ( )12e x p { [ ( ) ] }2 ( 1 )2()f x yx x y y??????? ? ?? ? ?? ????? ? ?? ? ??? 其中 － ∞＜ μ1， μ2＜ +∞,σ1,σ2＞ 0， |ρ|＜ 1是 5個參數(shù) ， 則稱隨機變量 (X,Y)服從參數(shù)為 μ1， μ2， σ1， σ2， ρ的二維正態(tài)分布 ，f(x,y)為二維正態(tài)密度 ， (X,Y)為二維正態(tài)隨機變量 ， 記作 (X,Y)～ N(μ1， μ2， σ12， σ22， ρ) [注：五個參數(shù) !] 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 4 求二維正態(tài)變量的邊緣密度 解： ? ????? dyyxfxf X ),()(dyeeρσπσσσμyμxρσμyρσμxρ ? ???????????????]))((2)[()1(21)()1(21221212122222112121dteetxtxyt????????????????]2[)1(21)()1(21211122211222121 ????????????dteexxtx????????????????])())([()1(21)()1(2121211221122112121 ?????????????上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ????????????? dteextx ])([)1(2122)(12112212112121 ??????????21212)(121 ???????xe∴ X～ N(μ1， σ12) 同理得 Y～ N(μ2， σ22) 注： 二維正態(tài)分布的兩個分量均服從正態(tài)分布，且與 ρ無關(guān)，因此，如果已知 (X,Y)是二維正態(tài)分布，則唯一確定了 X和 Y的分布密度，反之則無法確定。 1例 1中的二維隨機變量 （ X,Y） 關(guān)于 X,Y的邊緣分布 Y 0 1 2 3 Pi. 0 1 2 3 . . . . . . . . P.j 1 X 271919127191929109191002710002789492271278 94 92 271上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 2 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合分布律是： 1 2 1 2121 2 1 21 2 1 2{ ( , ) ( , ) }! ( 1 ) ( 2 )! ! ( )k k n k kP X Y k kn p p p pk k n k k???? ? ???)1,0,...,1,0,( 21212121 ?????? ppppnkknkk稱 (X,Y)服從參數(shù)為 n， p1， p2的三項分布，求其邊緣分布 . 解： ?ikp)(21210 2121212112)1()!(!! ! kknkkknkppppkknkk n ????????? ?212121)(2120 2121111 ])1[(]!)[(!)!()!(!! kknkknkkpppkknk knknk pn ???????? ??? ?nkppknk n knk ,...,1,0)1()!(! ! 1)(111111 ?????),(~),(~ 21 pnbYpnbX上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 三、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(x， y),聯(lián)合分布為 F(x， y)，則由（ 1）及分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系可知： dxdyyxfxF xX ? ??? ????? ]),([)(? ????? dyyxfxf X ),()(? ????? dxyxfyf Y ),()(（ 3） 分別稱 fX(x）， fY(y） 是 （ X,Y） 關(guān)于 X,Y的密度函數(shù)。 概率密度的性質(zhì)： 1) f(x,y)≥0 )8(1),()2 ??????? ????? ???? Fd x d yy)f ( x ,3) 若 f(x,y)在點 (x,y)連續(xù)，則有 2 ( , )( , )F x y f x yxy? ???上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 4)設(shè) G是 xoy平面上的一個區(qū)域，點 (X,Y)落在 G內(nèi)的概率為 )9(),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP顯然 , 對任意實數(shù) ab及 cd, 有 )10(),(},{ ? ??????badcd x d yyxfdcbaP ??由此得 ,(X,Y)的分布函數(shù) F(x,y) 可由下式求出 : )11(),(),( ? ??? ???x yd u d vvufyxF上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 二元概率密度函數(shù) f(x,y)從圖形上看是在 xoy平面上方 的一個曲面 , 包圍著下方的體積為 1. 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 試求： 1)常數(shù) c 2)分布函數(shù) F(x,y) 3)求 (X,Y)落在圖中區(qū)域 G內(nèi)的概率 . 例 3 設(shè)二維隨機變量具有密度函數(shù) ??? ????????? ??其他,00,0,),( )(2 yxceyxf yx解： ? ????? ???? ? 1),()1 yxf4?? c? ??? ?? ??? 0 0 )(21 d x d yce yx即ceec yx 41]21[]21[ 0202 ????? ??????1 x y o x+y=1 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 (2)當 x0或 y0時 , F(x,y)=0 當 x≥0且 y≥0時 , ? ? ??? x y ts d s d teyxF 0 0 )(24),( )1)(1( 22 yx ee ?? ?????? ?????? ??其他,00,0),1)(1(),( 22 yxeeyxF yx3)P{(X,Y)∈ G} ? ? ? ??? 10 10 )(24x yx dyedx=1－ 3e2 1 x y o x+y=1 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 4 設(shè)二維隨機變量具有密度函數(shù) ??? ???其他,01,),( 22 yxycxyxf試求： 1)常數(shù) c 2) 求概率 P{XY}. 解 (1)f(x,y)在右圖陰影部分非零 , 由題意知 ? ????? ????? d x d yyxf ),(1? ??? 1 1 1 22x y d ycxdx c214?421?? cy=x2 y=x 1 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?????yxdx dyyxfYXP ),(}{)2(? ?? 10 22 421xx y dyxdx 203?y=x2 y=x 1 一、邊緣分布函數(shù) 二、二維離散型隨機變量的邊緣分布 三、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 167。 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 1 把三個相同的球等可能地放入編號為 1， 2， 3的三個盒子中，記落入第 1號盒子中的球的個數(shù)為 X，落入第 2號盒子中球的個數(shù)為 Y，求 (X， Y)的分布律。 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 推廣： n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)