概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維隨機(jī)變量(編輯修改稿)
2025-01-04 10:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ????????上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ????????????? dteextx ])([)1(2122)(12112212112121 ??????????21212)(121 ???????xe∴ X～ N(μ1， σ12) 同理得 Y～ N(μ2， σ22) 注： 二維正態(tài)分布的兩個(gè)分量均服從正態(tài)分布，且與 ρ無關(guān)，因此，如果已知 (X,Y)是二維正態(tài)分布，則唯一確定了 X和 Y的分布密度，反之則無法確定。 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 5 設(shè) (X,Y)的密度是 )s i ns i n1(2 1),( 222yxeyxfyx??????－ ∞＜ x,y＜ +∞,試求 X,Y的邊緣分布密度。 解： fX(x) ?????? dyyxf ),( dyyxe yx )s i ns i n1(2 1 222??? ? ???????]s i ns i n[2 1 222222y d yexdyeeyyx?? ???? ????? ?? ?? ?02121 22 22 ?? ? ?????? dyee yx?? 2221 xe ???∴ X～ N(0,1) 同理 Y～ N(0,1) 一、離散型條件分布 二、連續(xù)型條件分布 167。 * 條件分布 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 一、離散型隨機(jī)變量的條件分布 復(fù)習(xí)條件概率的定義： }{},{}|{yyxyxjjiji YPYXPYXP??????由此引出： 定義 1 設(shè) (X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的 j，若 P{Y=yj}0，則稱 ,...2,1}{},{}|{ ?????????iYPYXPYXPppyyxyxjijjjiji，（ 1） 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 為在 Y=yj條件下隨機(jī)變量 X的條件分布律 ， 記為 Pi|j 對(duì)于固定的 i， 若 P{X=xi}0， 則稱： ,...2,1}{},{}|{ ?????????jXPYXPXYPppxyxxyiijijiij，(2) 為在 X=xi條件下隨機(jī)變量 Y的條件分布律，記為 Pj|I 容易驗(yàn)證，條件概率滿足下列性質(zhì)： 1) P{X=xi|Y=yj}≥0 ， P{Y=yj|X=xi}≥0 2) 1}|{0??????iji yYxXP1xX|yP { Y0ij ???????j上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 1 某射手進(jìn)行射擊 ， 每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p(0p1)， 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止 ， 令 X表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù) ， Y表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù) ， 試求聯(lián)合分布列 pij及條件分布律 pi|j ， pj|I 解： 由概念知 ,...3,21,},{ 22 ??????? ? jiqpjYiXPp jij其中 q=1－ p ,...2,1,11221???? ????????? ?? ipqqpppiijjijiji上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ,...3,2,)1( 22111122 ????? ??????? ? ? jqpjqpppjjijijijj,...3,21,)1( 1)1( 2222| ???????? ???jijqpj qpppp jjjijji,...2,1,1122| ??????????iijpqpq qpppp ijijiijij上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 已知 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)，其密度為 f(x,y)，由條件概率的定義易想到有： )(},{}|{)|(| yYpyYxXPyYxXPyxFYX ???????型。也是在高等數(shù)學(xué)中有 oodxdy yxdxdyx △△且△ 0lim??由此得到啟發(fā)采用同樣的思想途徑定義 ： ),(| yxF YX }|{lim}|{0 yyYyxXPyYxXP y △△ ???????? ?)(},{limyyYyPyyYyxXPoy △△△ ?????????),(),(),(),(lim0 yFyyFyxFyyxFy ?????????? △△△型oo上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 由 (X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量得 ： ),(| yxF YX? ?? ???????????yyyx yyyy ddfddf△△△ ????????),(),(lim0?? ???????yyy Yx yyyy ydfyddf△△△ △△/)(/),(lim0 ?????? ， f,fY連續(xù) ,fY(y)0 )(),(yfdyfYx? ??? ??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ∴ )(),()|(|ydyfyx fFYxYX? ??? ??)(),()|(| xdxfxy FFXyXY? ??? ?? (3) 由 (3)知 )(),()|(| yyxfyxff YYX ?)(),()|(| xyxfxyff XXY ? (4) 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定義 2 稱 (3)為連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布； (4)為條件概率密度。 例 2 若 (X,Y)～ N(μ1， μ2， σ12， σ22， ρ)， 試求條件概率密度 ，fX|Y(x|y)及 fY|X(y|x) 解： 由 (4)式知 )|(| yxf YX)(),(yyxff Y?2222222212121122)(2])())((2)[()1(2122121121??????????????????????????????yyyxxee上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 222112 )()1(2121 121 ????????????????yxe22211221)](([)1(2121 121 ?????????????????yxe由對(duì)稱性 ： 21212222)](([)1(2122|121)|( ?????????????????xyXY exyf上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 3 設(shè)數(shù) X在區(qū)間 (0,1)上隨機(jī)地取值 ， 當(dāng)觀察到X=x(0x1)時(shí) ， 數(shù) Y在區(qū)間 (x,1)上隨機(jī)地取值 ， 求 Y的概率密度 fY(y) 解： 由題意知 X的概率密度 ： ?)( xf X 1 ， 0x1 在 X=x的條件下， ?)|(| xyf XY x?11 ， xy1 ∴ f(x,y)= ?)()|(| xfxyf XXY x?11 ， 0xy1 ? ???? ?? dxyxfyf Y ),()()1ln (1 10 ydxxy ?????， 0y1 0 ，其它 167。 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定義 設(shè) F(x,y)及 FX(x)， FY(y)分別是二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù) ， 若對(duì)于 所有 x,y有 F(x,y)= FX(x)FY(y) (1) 則稱隨機(jī)變量 X和 Y是相互獨(dú)立的。 說明： 1)當(dāng) （ X,Y） 是離散型隨機(jī)變量時(shí) ， 由 (1)可推得： X,Y的相互獨(dú)立的充要條件時(shí)：對(duì)于 （ X,Y） 的所有可能取值（ xi， yi） ， 有： jiiiiiij ppyYPxXPyYxXPp ????
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