概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維隨機(jī)變量(已修改)
2024-12-20 10:20 本頁(yè)面
【正文】 一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 二、離散型二維隨機(jī)變量 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量 167。 二維隨機(jī)變量 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義 1 設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) ， 其樣本空間為 S={e}， 設(shè)X=X(e)和 Y=Y(e)是定義在 S上的兩個(gè)隨機(jī)變量 ， 由它們構(gòu)成的二維向量 (X,Y)稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量 。 推廣： S上的 n個(gè)隨機(jī)變量 X1， X2， …， Xn構(gòu)成的向量 (X1， X2， …， Xn)稱為 n維隨機(jī)變量 。 定義 2 設(shè) (X,Y)是二維隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x， y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)} { , }P X x Y y?? ? ? ∞＜ x,y＜ +∞ (1) 為 (X,Y)的分布函數(shù)或聯(lián)合分布函數(shù)。 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 推廣： n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) F(x1， x2， …， xn)= P{ X1≤x 1， X2≤x 2， …， Xn≤x n} (2) 若將 (X,Y)看成是平面上隨機(jī) 點(diǎn)的坐標(biāo) ,則 F(x,y)在 (x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn) (X,Y)落在右圖陰影中的概率 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 同理可知 (X,Y)落在 (x1X≤x2,y1Y≤y2)的概率 P{ x1X≤x2,y1Y≤y2} =F(x2,y2)F(x2,y1) F(x1,y2) +F(x1,y1) (3) x2 x1 y1 y2 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 1)F(x， y)是變量 x和 y的單調(diào)不減函數(shù)： 對(duì)于任意 x1＜ x2，有 F(x1， y)≤ F(x2， y)(y固定， y∈ (∞, ∞))；對(duì)于任意 y1＜ y2， 有 F(x， y1)≤ F(x， y2)(x固定 , x ∈ (∞, +∞))。 2)0≤F(x， y)≤1，且 固定 y， F(∞， y)＝ 0 y∈ (∞,+∞)， 固定 x， F(x， ∞)＝ 0 x∈ (∞, +∞)， F(∞, ∞)=0， F(+∞, +∞)=1 (4) 3)右連續(xù)性： F(x， y)關(guān)于 x右連續(xù)，即 F(x+0,y) ＝ F(x， y) ，F(xiàn)(x， y)關(guān)于 y右連續(xù)，即 F(x， y+0) ＝ F(x， y) 性質(zhì)： 4)對(duì)于任意 (x1， y1)， (x2， y2)， x1＜ x2， y1＜ y2， 則 F(x2， y2)－ F(x2， y1)－ F(x1， y2)＋ F(x1， y1)≥0 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 二、離散型二維隨機(jī)變量 定義 3 如果隨機(jī)變量 (X,Y)可能取的值只有有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì)，則稱 (X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其取值的概率： P{X=xi， Y=yj}=pij ， i， j=1， 2， … (5) 稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率分布或分布律，或 X和 Y的聯(lián)合分布律 注： 由分布函數(shù)的性質(zhì)知 1)pij≥0 , 1 12 ) 1 ( 6 )ijiji j i jpp? ? ? ?????? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) Y X y1 y2 … yj … x1 x2 . . . xi ∶ ． p11 p21 . . . pi1 ∶ ． p12 p22 . . . pi2 ∶ ． . . . p1j … p2j … . . . pij … ∶ ． 有時(shí)我們也用表格來(lái)表示其聯(lián)合分布。 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 1 把三個(gè)相同的球等可能地放入編號(hào)為 1， 2， 3的三個(gè)盒子中，記落入第 1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為 X，落入第 2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)為 Y，求 (X， Y)的分布律。 解： pij＝ P{X＝ i,Y=j} ＝ P{X=i|Y=j}P{Y=j}, 0≤i+j≤3 j}P {Y ?3312( ) ( )33jjjC??0≤j≤3 j}Y|iP{ X ??i3311( ) ( )22jiijC???? 0≤i+j≤3 331()2jijC???pij? 3333121 ( ) ( )()332jjjiijCC???? )!3(!!!3271jiji ???0≤i+j≤3 ， 0≤i， j≤3 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 當(dāng) i+j3或 i+j0時(shí) pij=0 其對(duì)應(yīng)的概率分布表為 Y X 0 1 2 3 0 1 2 3 27191912710919291009191000271上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 2 將一試驗(yàn)在同一條件下重復(fù)進(jìn)行，直到成功兩次為止 .設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為 p,令 X為第一次成功之前失敗的次數(shù)，Y為兩次成功之間的失敗次數(shù)，求 X和 Y的聯(lián)合分布律 . 解 : 由題意 ,X,Y均服從幾何分布 ,且事件 {X=xi},{Y=yj}相互獨(dú)立 ,其概率分別為 P{X=i}=pqi, i=0,1,2,… P{Y=j}=pqj, j=0,1,2,… 則 Pij=P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j} =pqi pqj = p2qi+j i , j=0,1,2,… 即為 X和 Y的聯(lián)合分布律 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量 定義 4 對(duì)二維隨機(jī)變量 (X,Y)，如果存在非負(fù)函數(shù) f(x,y),使對(duì)于任意 x,y有 )7(),(),( ? ??? ??? x y dudufyxF ??則稱 (X,Y)為連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，稱 f(x,y)為 (X,Y)的概率密度或隨機(jī)變量 X和 Y的聯(lián)合概率密度。 概率密度的性質(zhì)： 1) f(x,y)≥0 )8(1),()2 ??????? ????? ???? Fd x d yy)f ( x ,3) 若 f(x,y)在點(diǎn) (x,y)連續(xù)，則有 2 ( , )( , )F x y f x yxy? ???上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 4)設(shè) G是 xoy平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) (X,Y)落在 G內(nèi)的概率為 )9(),(}),{( ????Gd x d yyxfGYXP顯然 , 對(duì)任意實(shí)數(shù) ab及 cd, 有 )10(),(},{ ? ??????badcd x d yyxfdcbaP ??由此得 ,(X,Y)的分布函數(shù) F(x,y) 可由下式求出 : )11(),(),( ? ??? ???x yd u d vvufyxF上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 二元概率密度函數(shù) f(x,y)從圖形上看是在 xoy平面上方 的一個(gè)曲面 , 包圍著下方的體積為 1. 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 試求： 1)常數(shù) c 2)分布函數(shù) F(x,y) 3)求 (X,Y)落在圖中區(qū)域 G內(nèi)的概率 . 例 3 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù) ??? ????????? ??其他,00,0,),( )(2 yxceyxf yx解： ? ????? ???? ? 1),()1 yxf4?? c? ??? ?? ??? 0 0 )(21 d x d yce yx即ceec yx 41]21[]21[ 0202 ????? ??????1 x y o x+y=1 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) (2)當(dāng) x0或 y0時(shí) , F(x,y)=0 當(dāng) x≥0且 y≥0時(shí) , ? ? ??? x y ts d s d teyxF 0 0 )(24),( )1)(1( 22 yx ee ?? ?????? ?????? ??其他,00,0),1)(1(),( 22 yxeeyxF yx3)P{(X,Y)∈ G} ? ? ? ??? 10 10 )(24x yx dyedx=1－ 3e2 1 x y o x+y=1 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 4
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