概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維隨機(jī)變量-資料下載頁(yè)
2024-12-08 10:20本頁(yè)面
【正文】 式，記為 fX*fY 或 即 fX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ????? ?? dxxzfxf YX )()(上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 2 設(shè) X,Y～ N(0,1)且相互獨(dú)立，求 Z=X+Y的密度 解 ：由（ 5）式可知： )(zfZ ? ???? ?? dyyfyzf YX )()(dyeeyyz22)( 2221 ?????????? ? ? dyeezyz? ???? ????22)2(421?dtee tzyt?? ???? ????224221???? 4221 ze ??4221 ze ??? ∴ Z~N(0,2) fX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()(上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 3 設(shè) R1， R2相互獨(dú)立，其概率密度均為 試求 R=R1+R2的概率密度 ????? ????其他,0100,5010)(xxxf解： 由 (5)得 ? ? ? ???? ?? dxxzfxfzf Z )()(當(dāng)且僅當(dāng) ????????zxzx10100時(shí)被積函數(shù) f(x)f(zx)非零 即相當(dāng)于 ????????100100xzxfX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()(上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 3 設(shè) R1， R2相互獨(dú)立，其概率密度均為 試求 R=R1+R2的概率密度 ????? ????其他,0100,5010)(xxxf解 ????????zxzx10100當(dāng) z0時(shí)， fZ(z)=0 當(dāng) 0≤z≤10時(shí) ， fZ(z) ? ?? z dxxzfxf0 )()(? ???? z dxxzx0 )10)(10(2 50 01 )606 00(1 50 0 01 32 zzz ???fX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()(上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 解 ????????zxzx10100當(dāng) 10≤z≤20時(shí) ， fZ(z) ? ? ???? 10 10 )10)(10(2 50 01z dxxzx3)20(150001 z?? 例 3 設(shè) R1， R2相互獨(dú)立，其概率密度均為 試求 R=R1+R2的概率密度 ????? ????其他,0100,5010)(xxxffX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()(上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 解 ????????zxzx10100當(dāng) z20時(shí)， fZ(z)＝ 0 ??????????????????其他,02022,)20(150 001100,60600(150 001)(332zzzzzzzffX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()( 例 3 設(shè) R1， R2相互獨(dú)立，其概率密度均為 試求 R=R1+R2的概率密度 ????? ????其他,0100,5010)(xxxf上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) (三 )M＝ max(X,Y)及 N＝ min(X,Y)的分布 },{}),m a x ({ zYzXzYXM ?????∴ Fmax(z) =P{M≤z} =P{X≤z,Y≤z} =F(z,z) 當(dāng) X,Y相互獨(dú)立時(shí) Fmax(z)=FX(z)FY(z) (8) 類似地 Fmin(z) =P{N≤z} =1P{Nz} =1P{Xz,Yz} 當(dāng) X,Y相互獨(dú)立時(shí) Fmin(z)=1[1 FX(z)][1 FY(z)] (9) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 推廣： 設(shè) X1,X2, …,Xn 相 互 獨(dú) 立 ， 且 其 分 布 為Fxi(x) ,i=1,2, …,n則 M=max(X1,X2, …,Xn)及 N=min(X1,X2, …,Xn)的分布函數(shù)分別為 )(max zF )() .. .()( 21 zFzFzF nXXX?(10) )(min zF )](1) ] . .. [(1)][(1[121 zFzFzF nXXX ?????(11) 特別，當(dāng) X1,X2, …,Xn獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)均為 F(x)時(shí) )(max zFnzF )]([? (12) )(min zF nzF )](1[1 ??? (13) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 4 設(shè)系統(tǒng) L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) L1,L2聯(lián)接而成 ， 聯(lián)接的方式分別時(shí) （ ⅰ ） 串聯(lián) (ⅱ) 并聯(lián) (ⅲ) 備用 (當(dāng)系統(tǒng) L1損壞時(shí) ， 系統(tǒng) L2開(kāi)始工作 )設(shè) L1,L2的壽命分別為 X,Y， 其概率密度分別為 ???????????? ??0,00,)(,0,00,)(yyeyfxxexf yYxX?? ??其中 α0， β0且 α≠β，試分別就以上三種聯(lián)接方式求出 L的壽命 Z的概率密度。 )(max zF )() .. .()( 21 zFzFzF nXXX?)(min zF )](1) ] . .. [(1)][(1[1 21 zFzFzF nXXX ?????上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) ???????????? ??0,00,)(,0,00,)(yyeyfxxexf yYxX?? ??解 （ ⅰ ）串聯(lián) X Y L1,L2中有一個(gè)損壞時(shí) ， 系統(tǒng) L就停止工作 ， 故壽命 Z＝ min(X,Y) ????????????????0,00,1)(,0,00,1)(yyeyFxxexFyYxX??由指數(shù)分布的定義得,0,00,1)( )(???????? ??zzezF zZ????????? ??0,00,)()( )(zzezf zZ????)(max zF )() .. .()( 21 zFzFzF nXXX?)(min zF )](1) ] . .. [(1)][(1[1 21 zFzFzF nXXX ?????上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 解 （ ⅱ ）并聯(lián) 當(dāng)且僅當(dāng) L1,L2中都損壞時(shí) ， 系統(tǒng) L才 停止工作 ， 故壽命 Z＝ max(X,Y) ?????????????? ??0,00,1)(,0,00,1)(yyeyFxxexF yYxX??,0,00),1)(1()(????????? ??zzeezF zzZ??????????? ????0,00,)()( )(zzeeezf zzzZ???? ????X Y )(max zF )() .. .()( 21 zFzFzF nXXX?)(min zF )](1) ] . .. [(1)][(1[1 21 zFzFzF nXXX ?????上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 解 ⅲ) 備用 X Y ???????????? ??0,00,)(,0,00,)(yyeyfxxexf yYxX?? ?? 當(dāng)系統(tǒng) L1損壞時(shí) ， 系統(tǒng) L2開(kāi)始工作 .故 整個(gè) L系統(tǒng)的壽命 Z=X+Y, 當(dāng) z≤0時(shí)， FZ(z)=0 fZ(z)=0 z0時(shí)， fZ(z) ? ???? ?? dyyfyzf YX )()(dyeez yyz? ???? 0 )( ?? ?? )( zz ee ?????? ?? ???,0,00),()(????????????zzeezfzzZ??????fX*fY ? ???? ?? dyyfyzf YX )()( ? ???? ?? dxxzfxf YX )()(
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