概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維隨機(jī)變量-文庫吧
2025-11-09 10:20 本頁面
【正文】 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù) ??? ???其他,01,),( 22 yxycxyxf試求： 1)常數(shù) c 2) 求概率 P{XY}. 解 (1)f(x,y)在右圖陰影部分非零 , 由題意知 ? ????? ????? d x d yyxf ),(1? ??? 1 1 1 22x y d ycxdx c214?421?? cy=x2 y=x 1 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?????yxdx dyyxfYXP ),(}{)2(? ?? 10 22 421xx y dyxdx 203?y=x2 y=x 1 一、邊緣分布函數(shù) 二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 167。 邊緣分布 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 一、邊緣分布函數(shù) 定義 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) F(x,y)，隨機(jī)變量X,Y各自的分布函數(shù)記為 FX(x)， FY(y)，依次稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X和關(guān)于 Y的邊緣分布函數(shù) FX(x) ＝ P{X≤x}＝ F(x,+∞) FY(y) ＝ P{Y≤y}＝ F(+∞,y) （ 1） 二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 設(shè) (X,Y)的分布律為 pij＝ {X=xi， Y=yi}， P{X=xi} ????1jijp??????1},{jji yYxXPi＝ 1， 2， … . P{Y=yi} ??????1},{iji yYxXP ????1iijpj＝ 1， 2， … . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定義 2 稱 pi.＝ P{X=xi} 為 X的邊緣分布律 , ＝ P{Y=yj}為 Y的邊緣分布律 . i, j ＝ 1， 2， … . 同樣 ,邊緣分布律也可用表格形式表示 ,此時(shí)在聯(lián)合分布律的表格邊上加上一行一列 ,加上的一行為 ＝ P{Y=yj},其值分別等于對應(yīng)的各列之和； 加上的一列為 pi.＝ P{X=xi},其值分別等于對應(yīng)的各行之和 .如下圖所示 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 X Y y1 y2 … yj … P{X=xi} x1 x2 . . . xi . . P11 P12 … P1j … P21 P22 … P2j … . . . . . … . … . . . Pi1 Pi2 … Pij … . . . . . … . … . . . P1. P2. . . . Pi. . . . P{Y=yj} … … 1 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 1 求 167。 1例 1中的二維隨機(jī)變量 （ X,Y） 關(guān)于 X,Y的邊緣分布 Y 0 1 2 3 Pi. 0 1 2 3 . . . . . . . . P.j 1 X 271919127191929109191002710002789492271278 94 92 271上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 2 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合分布律是： 1 2 1 2121 2 1 21 2 1 2{ ( , ) ( , ) }! ( 1 ) ( 2 )! ! ( )k k n k kP X Y k kn p p p pk k n k k???? ? ???)1,0,...,1,0,( 21212121 ?????? ppppnkknkk稱 (X,Y)服從參數(shù)為 n， p1， p2的三項(xiàng)分布，求其邊緣分布 . 解： ?ikp)(21210 2121212112)1()!(!! ! kknkkknkppppkknkk n ????????? ?212121)(2120 2121111 ])1[(]!)[(!)!()!(!! kknkknkkpppkknk knknk pn ???????? ??? ?nkppknk n knk ,...,1,0)1()!(! ! 1)(111111 ?????),(~),(~ 21 pnbYpnbX上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(x， y),聯(lián)合分布為 F(x， y)，則由（ 1）及分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系可知： dxdyyxfxF xX ? ??? ????? ]),([)(? ????? dyyxfxf X ),()(? ????? dxyxfyf Y ),()(（ 3） 分別稱 fX(x）， fY(y） 是 （ X,Y） 關(guān)于 X,Y的密度函數(shù)。 由密度函數(shù)的定義有 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 3 求第一節(jié)例 3的邊緣密度。 x0時(shí) FX(x)=0 ∴ f X(x)=0 x≥0時(shí) ? ?? ??? ?? 0 2)(2X 24)( xyx edyexf∴ f X(x)＝ 2e2x ， x≥0 0 ， x0 f Y(y)= 2e2y ， y≥0 0 ， y0 解： 同理 ??? ????????? ??其他,00,0,4),( )(2 yxeyxf yx上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定義 2 如果 (X,Y)的概率密度為 212221 1 221 1 21( , )212 ( ) ( )12e x p { [ ( ) ] }2 ( 1 )2()f x yx x y y??????? ? ?? ? ?? ????? ? ?? ? ??? 其中 － ∞＜ μ1， μ2＜ +∞,σ1,σ2＞ 0， |ρ|＜ 1是 5個(gè)參數(shù) ， 則稱隨機(jī)變量 (X,Y)服從參數(shù)為 μ1， μ2， σ1， σ2， ρ的二維正態(tài)分布 ，f(x,y)為二維正態(tài)密度 ， (X,Y)為二維正態(tài)隨機(jī)變量 ， 記作 (X,Y)～ N(μ1， μ2， σ12， σ22， ρ) [注：五個(gè)參數(shù) !] 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 4 求二維正態(tài)變量的邊緣密度 解： ? ????? dyyxfxf X ),()(dyeeρσπσσσμyμxρσμyρσμxρ ? ???????????????]))((2)[()1(21)()1(21221212122222112121dteetxtxyt????????????????]2[)1(21)()1(21211122211222121 ????????????dteexxtx????????????????])())([()1(21)()1(2121211221122112121 ?????
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