概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)(已修改)
2025-05-11 12:04 本頁面
【正文】 前面，我們討論了參數(shù)的點估計 . 它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù) . 但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這種估計的精度 .區(qū)間估計正好彌補(bǔ)了點估計的這個不足之處 . 可信度：越大越好 估計 你的年齡 八成 在 21－ 28歲之間 被估參數(shù) 可信度 范圍、區(qū)間 區(qū)間：越小越好 引例 在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù) N的最大似然估計為 1000條 . 實際上， N的真值可能大于 1000條， 也可能小于 1000條 . 為此，我們希望確定一個 區(qū)間 來估計參數(shù)真值 a 使我們能以比較高的 可靠程度 相信它包含真參數(shù)值 . ?湖中魚數(shù)的真值 [ ] 這里所說的“ 可靠程度 ”是用概率來度量的 b 區(qū)間估計的 精度 要高 . 167。 正態(tài)總體的 區(qū)間估計 設(shè) X1 ， X2,… ， Xn為來自總體 X?F(x。?)的一個樣本 ， ? ? ?是未知參數(shù) . 若對于給定的 ?（ 0 ? 1）， 存在兩個統(tǒng)計量 1 1 1 2 2 1 1 2? ? ? ? ? ?( , , ) , ( , , ) ( )nnX X X X? ? ? ? ? ?? ? ? 使得對任意的 ? ? ? 滿足 1 1 2 1? ?( , ) ( , ) 1nnP X X X X? ? ? ???? ? ? ?????一 置信區(qū)間的定義 則稱隨機(jī)區(qū)間 為參數(shù) ? 的 置信水平(confidence level)為 1? 的 置信區(qū)間(confidence interval). 12? ?[ , ]??置信水平 又稱為 置信度 ，置信區(qū)間的左端點 又稱為 置信下界 ，置信區(qū)間的右端點 又稱為 置信上界 . 1?? 2??1 1 1 2 2 111 1 2 11 1 2 1? ? ? ?( , , ) ( , , )( , , ) ,? ?( , , ) , ( , , )? ?( , , ) , ( , , )nnnnnnnX X X Xx x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ????和 都 是隨 機(jī) 變 量 的 函 數(shù) ， 因 而 也 是 隨 機(jī) 變 量 . 但 是 給 定樣 本 觀 測 值 = 就 得 到 一 個 具 體 的 閉 區(qū) 間[ ] , 我 們 以 1 的 概 率 保 證說未 知 參 數(shù) [明 ：].5 % 1 9 5 % .1 0 0 1 0 0955????? ? ?若 取 ， 即 置 信 水 平 為這 時 重 復(fù) 抽 樣 次 ， 則 在 得 到 的 個 區(qū) 間中 包 含 真 值 的 有 個 左 右 ， 不 包 含 真 值 的有 個 左 右 .12? ?[ , ]??1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間 ?內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大 . 12? ?()P ? ? ???2. 估計的精度要盡可能的高 . 如要求區(qū)間 長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求 的其它準(zhǔn)則 . 21? ????即要求估計盡量可靠 . 可靠度與精度是一對矛盾， 一般是在保證可靠度的條件下 盡可能提高精度 . (1)從未知參數(shù) ? 的某個點估計 出發(fā) ， 構(gòu)造 與 ? 的一個函數(shù) W( ,? ) , 使得 W的分布已知 ， 且不依賴于未知參數(shù) ? 該函數(shù)通常稱為 樞軸量 . ???,???1? ?( ( , , ) )nXX???二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法 1. 樞軸量法 (3) 利用不等式運(yùn)算，將不等式 ?(( 1, ) )P a W b?? ?? ?? ?(2) 適當(dāng) 選取兩個常數(shù) a, b，使對給定的 ?， 有 ?( , )a W b????等價變形為 1 1 2 1? ?( , , ) ( , , )nnX X X X? ? ???即 ?( ( , ) )P a W b????1 1 2 1? ?{ ( , , ) ( , , ) } 1nnP X X X X? ? ? ?? ? ? ? ? 此時參數(shù) ? 的置信水平為 1? 的置信區(qū)間為 12? ?[ , ].
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