概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5講(2)(已修改)
2025-02-01 07:41 本頁(yè)面
【正文】 第六節(jié) 獨(dú)立性 ?事件的相互獨(dú)立性 ?幾個(gè)重要定理 ?例題講解 ?小結(jié) 一、事件的相互獨(dú)立性 (一 ) 兩個(gè)事件的獨(dú)立性 由條件概率，知 )()()(BPABPBAP ?一般地， )()( APBAP ?這意味著：事件 B的發(fā)生對(duì)事件 A發(fā)生的概率有影響 . 然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)： )()( APBAP ?,.,),23(5取到綠球第二次抽取取到綠球第一次抽取記有放回地取兩次每次取出一個(gè)紅綠個(gè)球盒中有??BA則有 ?)( ABP.發(fā)生的可能性大小的發(fā)生并不影響它表示 BA)()( BPABP ??)()()( BPAPABP ?53 )(BP? .,)()()(,獨(dú)立簡(jiǎn)稱(chēng)相互獨(dú)立則稱(chēng)事件如果滿足等式是兩事件設(shè)BABABPAPABPBA?定義 1: 說(shuō)明 事件 A 與 B 相互獨(dú)立 ,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無(wú)關(guān) . 事件獨(dú)立性的性質(zhì) (結(jié)論 ) 1186。 則若 ,0)( ?AP)()( BPABP ??)()()( BPAPABP ?2186。 獨(dú)立與互斥的關(guān)系 這是兩個(gè)不同的概念 . 兩事件相互獨(dú)立 )()()( BPAPABP ?獨(dú)立是事件間的概率屬性 兩事件互斥 ??AB互斥是事件間本身的關(guān)系 二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系 . 結(jié)論： 時(shí)，有當(dāng) 0)(,0)( ?? BPAPA,B互不相容與 A,B相互獨(dú)立不能同時(shí)成立 . 證 若 A與 B 獨(dú)立 , 則 )()()( BPAPABP ?0)(,0)( ?? BPAP? 0)()()( ??? BPAPABP,AB ??故 即 A與 B 不互斥 (相容 ). AB( ) 1 2 , ( ) 1 2P A P B??若)()()( BPAPABP ?故,0)( ?ABP則 ( ) ( ) 1 4 ,P A P B ?反例： 兩事件 相互獨(dú)立 . 所以 兩事件 互斥 3186。 必然事件 S 及不可能事件 ?與任何事件 A相互獨(dú)立 . 證 ∵ S A=A, P(S)=1 ∴ P(S A) = P(A)=1? P(A)= P(S) P(A) 即 S與 A獨(dú)立 . 4186。 若事件 A與 B 相互獨(dú)立 , 則以下三對(duì)事件 也相互獨(dú)立 . ( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與注 :稱(chēng)此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉 . 4186。 若事件 A與 B 相互獨(dú)立 , 則以下三對(duì)事件 也相互獨(dú)立 . 證 (1) )()()( ABPAPBAP ???又 ∵ A與 B相互獨(dú)立 )()()( ABPAPBAP ??? )()()( BPAPAP ??)](1)[( BPAP ?? )()( BPAP?( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與)]()()([1 ABPBPAP ????)]()()()([1 BPAPBPAP ????)](1)[()](1[ APBPAP ????)](1[)](1[ BPAP ???? ).()( BPAP?(3) )( 對(duì)偶律BABA ?? ?)()( BAPBAP ??? )(1 BAP ???4186。 若事件 A與 B 相互獨(dú)立 , 則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立 . ( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與1. 三事件 兩兩 相互獨(dú)立的概念 (二 ) 多個(gè)事件的獨(dú)立性 定義 2 .,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立則稱(chēng)事件如果滿足等式是三個(gè)事件設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA????????2. 三事件相互獨(dú)立的概念 定義 3 .,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨(dú)立則稱(chēng)事件如果滿足等式是三個(gè)事件設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA???????????注意： 在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不可的．即：前三個(gè)等式的成立推不出最后一個(gè)等式；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出前三個(gè)等式的成立． 3. n個(gè)事件的獨(dú)立性 定義 4 若事件 A1， A2 ， … ， An 中任意兩個(gè)事件
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