概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5講(2)(已修改)
2025-02-01 07:41 本頁面
【正文】 第六節(jié) 獨立性 ?事件的相互獨立性 ?幾個重要定理 ?例題講解 ?小結 一、事件的相互獨立性 (一 ) 兩個事件的獨立性 由條件概率，知 )()()(BPABPBAP ?一般地， )()( APBAP ?這意味著：事件 B的發(fā)生對事件 A發(fā)生的概率有影響 . 然而，在有些情形下又會出現(xiàn)： )()( APBAP ?,.,),23(5取到綠球第二次抽取取到綠球第一次抽取記有放回地取兩次每次取出一個紅綠個球盒中有??BA則有 ?)( ABP.發(fā)生的可能性大小的發(fā)生并不影響它表示 BA)()( BPABP ??)()()( BPAPABP ?53 )(BP? .,)()()(,獨立簡稱相互獨立則稱事件如果滿足等式是兩事件設BABABPAPABPBA?定義 1: 說明 事件 A 與 B 相互獨立 ,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關 . 事件獨立性的性質 (結論 ) 1186。 則若 ,0)( ?AP)()( BPABP ??)()()( BPAPABP ?2186。 獨立與互斥的關系 這是兩個不同的概念 . 兩事件相互獨立 )()()( BPAPABP ?獨立是事件間的概率屬性 兩事件互斥 ??AB互斥是事件間本身的關系 二者之間沒有必然聯(lián)系 . 結論： 時，有當 0)(,0)( ?? BPAPA,B互不相容與 A,B相互獨立不能同時成立 . 證 若 A與 B 獨立 , 則 )()()( BPAPABP ?0)(,0)( ?? BPAP? 0)()()( ??? BPAPABP,AB ??故 即 A與 B 不互斥 (相容 ). AB( ) 1 2 , ( ) 1 2P A P B??若)()()( BPAPABP ?故,0)( ?ABP則 ( ) ( ) 1 4 ,P A P B ?反例： 兩事件 相互獨立 . 所以 兩事件 互斥 3186。 必然事件 S 及不可能事件 ?與任何事件 A相互獨立 . 證 ∵ S A=A, P(S)=1 ∴ P(S A) = P(A)=1? P(A)= P(S) P(A) 即 S與 A獨立 . 4186。 若事件 A與 B 相互獨立 , 則以下三對事件 也相互獨立 . ( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與注 :稱此為二事件的獨立性關于逆運算封閉 . 4186。 若事件 A與 B 相互獨立 , 則以下三對事件 也相互獨立 . 證 (1) )()()( ABPAPBAP ???又 ∵ A與 B相互獨立 )()()( ABPAPBAP ??? )()()( BPAPAP ??)](1)[( BPAP ?? )()( BPAP?( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與)]()()([1 ABPBPAP ????)]()()()([1 BPAPBPAP ????)](1)[()](1[ APBPAP ????)](1[)](1[ BPAP ???? ).()( BPAP?(3) )( 對偶律BABA ?? ?)()( BAPBAP ??? )(1 BAP ???4186。 若事件 A與 B 相互獨立 , 則以下三對事件也相互獨立 . ( 1 ) AB與； ( 2) AB與； ( 3 ) .AB與1. 三事件 兩兩 相互獨立的概念 (二 ) 多個事件的獨立性 定義 2 .,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨立則稱事件如果滿足等式是三個事件設CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA????????2. 三事件相互獨立的概念 定義 3 .,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨立則稱事件如果滿足等式是三個事件設CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA???????????注意： 在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不可的．即：前三個等式的成立推不出最后一個等式；反之，最后一個等式的成立也推不出前三個等式的成立． 3. n個事件的獨立性 定義 4 若事件 A1， A2 ， … ， An 中任意兩個事件
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