概率論與數理統(tǒng)計第12講(2)(已修改)
2025-02-01 07:39 本頁面
【正文】 第四節(jié) 相互獨立 的 隨機變量 ★ 隨機變量的獨立性 ★ 離散型隨機變量的獨立性 ★ 連續(xù)型隨機變量的獨立性 ★ 正態(tài)隨機變量的獨立性 一、隨機變量的相互獨立性 隨機變量的獨立性是概率論中的一 個重要概念 .兩隨機變量獨立的定義是： 設 F(x,y)及 FX(x),FY(y）分別是二維隨機變 量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數及邊緣分布函數， —— 將事件獨立性推廣到 隨機變量 . 兩事件 A,B獨立的定義是： 若 P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件 A,B獨立 . 設 X,Y是兩個 ，若對任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨立 . ( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y?用分布函數表示 ,即 設 X,Y是兩個 ，若對任意的 x,y,有 則稱 X,Y相互 獨立 . 它表明，兩個 獨立時，它們的聯(lián)合 分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積 . 設 X,Y是兩個 ，若對任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨立 . X與 Y 獨立 )()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????即 jiij ppp ???連續(xù)型 )()(),( yfxfyxf YX?說明 :二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立 , 則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布 對一切 i , j 有 離散型 X與 Y 獨立 對任何 x ,y 有 二維連續(xù) . ( X,Y ) 相互獨立 )0)(()()( ?? yfyxfxf YYXX)0)(()()( ?? xfxyfyf XXYY0??)。,。,(~),( 222211 ?????NYX相互獨立 命題 (請同學們自學 P91 ) 判斷獨立的一 個重要命題 設 X ,Y 為相互獨立的 . u(x),v(y) 為連續(xù)函數 , 則 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互獨立 . 即 獨立 . 下面予以證明 . 設 X 與 Y 的 . 分別為 f X(x), f Y (y), 則 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?因此， ( , ) ( , )UVF u v P U u V v? ? ? ( ( ) , ( ) )P u X u v Y v? ? ?()()( ) ( )XYu x uv y vf x f y d x d y??? ??( ( ) ) ( ( ) )P u X u P v Y v? ? ? ( ) ( )UVF u F v?事實上 , ( ) ( )( ) ( )XYu x u v y vf x d x f y d y??? ??設 X ,Y 為相互獨立的 . u(x),v(y)為連續(xù)函數 , 則 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互獨立 . 例 1 的三個盒子中．，編號為將兩個球等可能地放入 321是否相互獨立？與試判斷隨機變量 YX；，的可能取值為 210X解：號盒中的球數；：放入令 1X號盒中的球數．：放入 2Y．，的可能取值為 210Y布律為的聯(lián)合分布律及邊緣分與首先計算出 YX Y X 0 1 2 ?ip 0 91 92 91 94 1 92 92 0 94 2 91 0 0 91 jp? 94 94 91 1 ? ? 021 ??? YXP ， ? ? ? ?919421 ???? YPXP?不獨立．與隨機變量 YX 例 2: 設 (X,Y)的概率密度為 ??? ?????其它,00,0,),()( yxxeyxfyx問 X和 Y是否獨立？ x0 即： y 0 ??? ??
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