概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第12講(2)(已修改)
2025-02-01 07:39 本頁面
【正文】 第四節(jié) 相互獨(dú)立 的 隨機(jī)變量 ★ 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ★ 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ★ 連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ★ 正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 一、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一 個(gè)重要概念 .兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是： 設(shè) F(x,y)及 FX(x),FY(y）分別是二維隨機(jī)變 量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)， —— 將事件獨(dú)立性推廣到 隨機(jī)變量 . 兩事件 A,B獨(dú)立的定義是： 若 P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件 A,B獨(dú)立 . 設(shè) X,Y是兩個(gè) ，若對(duì)任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨(dú)立 . ( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y?用分布函數(shù)表示 ,即 設(shè) X,Y是兩個(gè) ，若對(duì)任意的 x,y,有 則稱 X,Y相互 獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè) 獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合 分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 . 設(shè) X,Y是兩個(gè) ，若對(duì)任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨(dú)立 . X與 Y 獨(dú)立 )()(),( jiji yYPxXPyYxXP ?????即 jiij ppp ???連續(xù)型 )()(),( yfxfyxf YX?說明 :二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 相互獨(dú)立 , 則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布 對(duì)一切 i , j 有 離散型 X與 Y 獨(dú)立 對(duì)任何 x ,y 有 二維連續(xù) . ( X,Y ) 相互獨(dú)立 )0)(()()( ?? yfyxfxf YYXX)0)(()()( ?? xfxyfyf XXYY0??)。,。,(~),( 222211 ?????NYX相互獨(dú)立 命題 (請(qǐng)同學(xué)們自學(xué) P91 ) 判斷獨(dú)立的一 個(gè)重要命題 設(shè) X ,Y 為相互獨(dú)立的 . u(x),v(y) 為連續(xù)函數(shù) , 則 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互獨(dú)立 . 即 獨(dú)立 . 下面予以證明 . 設(shè) X 與 Y 的 . 分別為 f X(x), f Y (y), 則 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?因此， ( , ) ( , )UVF u v P U u V v? ? ? ( ( ) , ( ) )P u X u v Y v? ? ?()()( ) ( )XYu x uv y vf x f y d x d y??? ??( ( ) ) ( ( ) )P u X u P v Y v? ? ? ( ) ( )UVF u F v?事實(shí)上 , ( ) ( )( ) ( )XYu x u v y vf x d x f y d y??? ??設(shè) X ,Y 為相互獨(dú)立的 . u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù) , 則 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互獨(dú)立 . 例 1 的三個(gè)盒子中．，編號(hào)為將兩個(gè)球等可能地放入 321是否相互獨(dú)立？與試判斷隨機(jī)變量 YX；，的可能取值為 210X解：號(hào)盒中的球數(shù)；：放入令 1X號(hào)盒中的球數(shù)．：放入 2Y．，的可能取值為 210Y布律為的聯(lián)合分布律及邊緣分與首先計(jì)算出 YX Y X 0 1 2 ?ip 0 91 92 91 94 1 92 92 0 94 2 91 0 0 91 jp? 94 94 91 1 ? ? 021 ??? YXP ， ? ? ? ?919421 ???? YPXP?不獨(dú)立．與隨機(jī)變量 YX 例 2: 設(shè) (X,Y)的概率密度為 ??? ?????其它,00,0,),()( yxxeyxfyx問 X和 Y是否獨(dú)立？ x0 即： y 0 ??? ??
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