【正文】 號(hào) 12020309】 答案： A 3.（ 1004）設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為 則常數(shù) 等于（ ） . A. － 1 B. C. D. 1 【答疑編號(hào) 12020310】 答案： D 4.（ 1003） 設(shè)隨機(jī)變量 在區(qū)間 [2， 4]上服從均勻分布，則 ＝（ ） . A. B. C. D. 【答疑編號(hào) 12020311】 答案： C 5.（ 1015）設(shè)隨機(jī)變量 ，已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值 ，為使 ，則常數(shù) ___________. 【答疑編號(hào) 12020312】 答案： 3 6.（ 0704）設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為 ，則在 3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（ ） . A. B. C. D. 【答疑編號(hào) 12020313】 答案： A 7.（ 0715）已知隨機(jī)變量 ，且 ，則 ___________. 【答疑編號(hào) 12020314】 答案： 5 8.（ 0716）設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，則常數(shù) ____________. 【答疑編號(hào) 12020315】 答案： 1 9.（ 0727）設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 3的指數(shù)分布，試求： （ 1） 的概率密度； 【答疑編號(hào) 12020316】 （ 2） . 【答疑編號(hào) 12020317】 解： 10.（ 1028）司機(jī)通過(guò)某高速路收費(fèi)站等候的時(shí)間 （單位：分鐘）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， （ 1）求某司機(jī)在此收費(fèi)站等候時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 ； 【答疑編號(hào) 12020318】 （ 2）若該司機(jī)一個(gè)月要經(jīng)過(guò)此收費(fèi)站兩次，用 表示等候時(shí)間超過(guò) 10分鐘的次數(shù)，寫(xiě)出 的分布律，并求 . 【答疑編號(hào) 12020319】 解： 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 內(nèi)容介紹 本章討論多維隨機(jī)變量的問(wèn)題，重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量及其概率分布。特別地，當(dāng) X～ N（ 0,1）時(shí)，求 的概率密度。 【答疑編號(hào) 12020306】 解： y=g（ x） =tanx,值域?yàn)椋ǎ?∞ ， +∞ ），反函數(shù) x=h（ x） =arctany, 記 X的概率密度為 fx（ x） ,則 這一概率分布稱(chēng)為柯西（ Cauchy）分布。另外，正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換 仍是正態(tài)隨機(jī)變量，即 aX+b～，這兩個(gè)結(jié)論十分有用，必須記住。 【答疑編號(hào) 12020305】 解 ：利用例 227所得的結(jié)論， fx（ x）＝ （ 1） ,則 （ 2） 【答疑編號(hào) 12020303】 解： y= ax+b ∵ － ∞ ＜ x＜ +∞ ∴ － ∞ ＜ y＜ +∞ 即 α ＝－ ∞ ， β ＝ +∞ x=h（ y） = 例題 4. P53 例 228 【例 2－ 28】 ，求： （ 1） 的概率密度。 【答疑編號(hào) 12020302】 解： = P｛｛ X=1｝ ∪P ｛ X=2｝｝ = P｛ X=1｝ ∪P ｛ X=2｝ P｛ X=1｝ ∩P ｛ X=2｝ = 定理：設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 .設(shè) 是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，?.記 的反函數(shù)，則 的概率密度為 . 證明：略 例題 3. P53 例 2－ 27 【例 2－ 27】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 fx（ x），令 Y＝ aX+b其中 a,b為常數(shù) ,a≠0 。 【答疑編號(hào) 12020301】 解 :因?yàn)? 所以 Y只能取值－ 1， 0， 1，而取這些值的概率為 故 Y的分布律為 有時(shí)我們只求 Y=g（ X）在某一點(diǎn) y處取值的概率，有 ， 即把滿(mǎn)足 的 所對(duì)應(yīng)的概率相加即可。 例題 . 【答疑編號(hào) 12020210】 解： P{X}= ∴1 P{X≤u }= P{X≤u }= 查表： → → 所以 167。 Ⅳ. 上側(cè) α 分位數(shù) （ 1）定義：設(shè) X～ N（ 0,1），若 uα 滿(mǎn)足條件 P{Xuα }=α ， 0α1 ，則稱(chēng)點(diǎn) uα 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè) α 分位數(shù)。 例題 【例 2－ 22】設(shè) X～ N（ ， 4），求 。σ 處曲線有拐點(diǎn)，曲線以 x軸為漸近線 . ③ 當(dāng) σ 給定， μ 1μ 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿 x軸互相平移得到 . ④ 當(dāng) μ 給定， σ 1σ 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象如圖下圖所示， σ 越小，圖象越尖銳， σ 越大，圖象越平緩 . （ 3）分布函數(shù)為 . （ 4） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng) μ=0 ， σ=1 時(shí)的正態(tài)分布 N（ 0,1），稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別記做 和 Φ （ x），即 ， ， ， （ 5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的性質(zhì) ①Φ （ x） =1Φ （ x）； ② . （ 6）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 設(shè) X～ N（ μ,σ 2），分布函數(shù)為 F（ x） ，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為 Φ （ x），則 ① ； 做代換： 由于 U～ N（ 0， 1） ∴ ② ； ③ . 例題 【例 2－ 20】設(shè) X～ N（ 0， 1）證明對(duì)于任意的 h0，有 。 證明：對(duì)于任意的 x0, . 又因?yàn)?，所以 ， 則 Ⅲ. 正態(tài)分布 （ 1）定義：若隨機(jī)變量 X的概率 密度為 ，－ ∞x ＋ ∞ ， 其中 μ,σ 2為常數(shù)，－ ∞μ+∞ ， σ0 ，則稱(chēng) X服從參數(shù)為 μ,σ 2的正態(tài)分布，記做 X～ N（ μ,σ 2） . （ 2）概率密度函數(shù)的性質(zhì)： ① 曲線關(guān)于直線 x=μ 對(duì)稱(chēng)，則對(duì) 于任意 h0，有 P（ μ hx≤μ ） =P（ μX≤μ+h ）。 【答疑編號(hào) 12020207】 解：設(shè) X表示乘客的候車(chē)時(shí)間，則 X～ U（ 0， 5），其概率密度為 所求概率為 P{1≤x≤3} Ⅱ. 指數(shù)分布 （ 1）定義：若隨機(jī)變量 X的概率密度為 ， 其中 λ0 為常數(shù)，則稱(chēng) X服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，記做 X～ E（ λ ） . （ 2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為 ， （ 3）實(shí)際應(yīng)用：電子元器件的使用壽命，動(dòng)物的壽命，電話(huà)的通話(huà)時(shí)間，接受服務(wù)的時(shí)間等等，都可以假定服從指數(shù)分布。 （ 2）分布函數(shù)為 分布函數(shù)圖象如下圖： （ 3）實(shí)際應(yīng)用：查表時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)修正值之間的數(shù)值服從均勻分布，在一段時(shí)間內(nèi)，公共汽車(chē)達(dá)到的時(shí)間認(rèn)為是服從均勻分布，等等。 （ 3）所求概率為 P{Y≥1}=1 P{Y=0} 。 【答疑編 號(hào) 12020203】 解：（ 1） （ 2）有兩種解法： P{X}=F（ ） F（ ） ==； 或者 P{X} =。 （ 2） 概率密度的性質(zhì) ： ① f （ x） ≥0 ； ② ； ③ ； ④ 設(shè) x為 f（ x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在 ，且 . （ 3）概率密度的直觀解釋 例題 【例 2－ 15】設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 求 X的分布函數(shù) F（ x）。 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 （ 1）定義：設(shè)隨機(jī)變 量 X的分布函數(shù)為 F（ x），若存在非負(fù)函數(shù) f（ x），使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有 ， 則稱(chēng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱(chēng) f（ x）為 X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度（或密度函數(shù)）。 【答疑編號(hào) 12020205】 解：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） 。 例題 【例 2－ 12】設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 其中 λ0, 求常數(shù)