【正文】 為 X的分布函數(shù) 。 （ 1） P{X≥2}=1 P{X=0}P{X=1} ?，F(xiàn)有 10人服用，問(wèn)至少有 8人治愈的概率是多少？ 【答疑編號(hào) 12020204】 解：設(shè) X為 10人中被治愈的人數(shù)，則 X～ B（ 10， ） 而所求概率為 P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10} = 例題 【例 2－ 7】設(shè) X～ B（ 2， p）， Y～ B（ 3， p）。如果每次射擊的命中率為 p，求射擊次數(shù) X的分布律。如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，醫(yī)院門診一天接待的患者數(shù)，某停車場(chǎng)內(nèi)停放的車輛數(shù)，等等，都是離散型隨機(jī)變量。如：擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X，則 X＝ 1， 2， 3， 4， 5， 6分別表示事件 “ 出現(xiàn)一點(diǎn) ” ， “ 出現(xiàn)二點(diǎn) ” ， ? ， “ 出現(xiàn)六點(diǎn) ” 。 考點(diǎn)分析 2 選擇題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 填空題 2題 4分 2題 4分 2題 4分 計(jì)算題 1題 8分 綜合題 1題 4分 1題 12分 合計(jì) 5題 12分 4題 14分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。 ③ 引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量來(lái)描述事件，如擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的 點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X，則 “ 出現(xiàn) 4點(diǎn) ” 可表示為 {X＝ 4}， “ 不少于 4點(diǎn) ” 可表示為 {X≥4}, 等等。 例題 【例 2－ 4】已知一批零件共 10個(gè)，其中有 3個(gè)不合格，現(xiàn)任取一 件使用，若取到不合格零件，則丟棄，再重新抽取一個(gè)，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個(gè)數(shù) X的分布律。 （ 2） 二項(xiàng)分布 定義：若隨機(jī)變量 X的可能 取值為 0， 1， 2， ? ， n，而 X的分布律為 ， k＝ 0， 1， 2， ? ， n 其中 0p1， q＝ 1－ p, 則稱 X服從參數(shù)為 n， p的二項(xiàng)分布，記做 X～ B（ n,p）。 在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) n≥20 ， p≤ 時(shí)計(jì)算 效果頗佳。 【答疑編號(hào) 12020209】 解：（ 1）查附表 2中 λ 這一欄的數(shù)據(jù)，可得 P{X=10}=P{X≥10} P{X≥11} = （ 2） P{X≤10}=1 P{X≥11} = 例題 【例 2－ 10】設(shè) X服從泊松分布，且已知 P{X=1}=P{X=2}，求 P{X=4} 【答疑編號(hào) 12020200】 解 設(shè) X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，則 ， 由已知得 解得 λ=2 ，則 167。 （ 3） F（ ∞ ） =0， F（ +∞ ） =1，即 ， 。 （ 2） 概率密度的性質(zhì) ： ① f （ x） ≥0 ； ② ； ③ ； ④ 設(shè) x為 f（ x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在 ，且 . （ 3）概率密度的直觀解釋 例題 【例 2－ 15】設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 求 X的分布函數(shù) F（ x）。 【答疑編號(hào) 12020207】 解：設(shè) X表示乘客的候車時(shí)間，則 X～ U（ 0， 5），其概率密度為 所求概率為 P{1≤x≤3} Ⅱ. 指數(shù)分布 （ 1）定義：若隨機(jī)變量 X的概率密度為 ， 其中 λ0 為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，記做 X～ E（ λ ） . （ 2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為 ， （ 3）實(shí)際應(yīng)用：電子元器件的使用壽命，動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，接受服務(wù)的時(shí)間等等，都可以假定服從指數(shù)分布。 Ⅳ. 上側(cè) α 分位數(shù) （ 1）定義：設(shè) X～ N（ 0,1），若 uα 滿足條件 P{Xuα }=α ， 0α1 ，則稱點(diǎn) uα 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè) α 分位數(shù)。 【答疑編號(hào) 12020303】 解： y= ax+b ∵ － ∞ ＜ x＜ +∞ ∴ － ∞ ＜ y＜ +∞ 即 α ＝－ ∞ ， β ＝ +∞ x=h（ y） = 例題 4. P53 例 228 【例 2－ 28】 ，求： （ 1） 的概率密度。特別地，當(dāng) X～ N（ 0,1）時(shí)，求 的概率密度。 【答疑編號(hào) 12030107】 解： P{X=1， Y=1} =P{X=1}P{Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 2）不放回摸球情況： 類似地有 P{X=0， Y=1}= P{X=1， Y=0}= P{X=1， Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 1）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x， y，有 ， 則稱（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量；并稱 為（ X， Y）的概率密度或 X與 Y的聯(lián)合 密度函數(shù) . （ 2）概率密度 的性質(zhì)： ① 非負(fù)； ② ； ③ 若 在 處連續(xù)，則有 ； ④ . 例題 7. P67 【例 3－ 7】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求（ X， Y）的分布函數(shù) F（ x,y） . 【答疑編號(hào) 12030110】 解： 例題 8. P67 【例 3－ 8】設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y） =a（ b+arctanx）（ c+arctan2y）， ∞x+∞ ， ∞y+∞. 求：（ 1）常數(shù) a,b,c； 【答疑編號(hào) 12030111】 （ 2）（ X， Y）的概率密度。 【答疑編號(hào) 12030205】 證明： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 其邊緣分布律為 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是，對(duì) 一切 i， j有 反之，只要有一對(duì)（ i， j）使上式不成立， X與 Y就不相互獨(dú)立 . 例題 14： P74 【例 315】判斷 36中 X與 Y是否相互獨(dú)立。設(shè) 1＜ a＜ 3,若事件求常數(shù) a的值。 P 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1： P80 【例 324】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 Z=X+Y的分布律。 （ 2）不放回摸球情況：因?yàn)? P{X=0， Y=0}≠P{X=0} ② 兩種特殊區(qū)域的情況： ⅰ.D 為矩形區(qū)域 a≤x≤b ， c≤y≤d ，此時(shí) ⅱ.D 為圓形區(qū)域，如（ X,Y）在以原點(diǎn)為中心， R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則 （ X,Y）概率密度為 例題 9： P68 【例 3－ 9】設(shè)（ X， Y）服從下列區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D： x≥y,0≤x≤1,y≥0. 求 P{X+Y≤1} 。 【答疑編號(hào) 12030108】 解： X與 Y的可能值均為 1， 2， 3. （ X， Y）關(guān)于 X的邊緣分布律為： （ X， Y）關(guān)于 Y的邊緣分布律為： 可以將（ X， Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上： 值得注意的是：對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個(gè)邊緣分布，但在一般情況下，由（ X， Y）的兩個(gè)邊緣分布律是不能確定（ X， Y）的分布律的。 第二章 小 結(jié) 一、內(nèi)容分布律 二、試題選講 1.（ 1016）拋一枚硬幣 5次，記正面向上的次數(shù)為 ，則 ＝ ____________. 【答疑編號(hào) 12020308】 答案： 2.（ 0404）設(shè)隨 機(jī)變量 的概率密度為 則 ＝（ ） . A. B. C. D. 1 【答疑編號(hào) 12020309】 答案： A 3.（ 1004）設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為 則常數(shù) 等于（ ） . A. － 1 B. C. D. 1 【答疑編號(hào) 12020310】 答案： D 4.（ 1003） 設(shè)