概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式(完整版)
【正文】 間（）內(nèi)的概率為。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1176。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1176。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。則有。必然事件和不可能事件216。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。②運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1176。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為AB，也可表示為AAB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。（8）古典概型1176。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An1)0，則有…………。對(duì)于n個(gè)事件類似。，（，…，），通常叫先驗(yàn)概率。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。 其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 當(dāng)時(shí)，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y)。y1 D1O 1 xyD211 O 2 xyD3dcO a b x（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；②cov(X,Y)=0。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有 伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n1)表示自由度為n1的t分布。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n. 當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。我們先假定H0是成立的。這時(shí)，我們把客觀上H0。反之，則應(yīng)把α取得大些。兩類錯(cuò)誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。與H0相對(duì)的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，
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