【正文】 例 2－ 9】設隨機變量 X服從參數(shù)為 5的泊松分布，求 （ 1） P{X=10}； 【答疑編號 12020208】 （ 2） P{X≤10} 。 隨機變量的分布函數(shù) 引入： ① 從數(shù)學發(fā)展的角度，引入函數(shù)概念是必然的； ② 此函數(shù)一定要與概率相聯(lián)系。 定義：設 X為隨機變量，稱函數(shù) F（ x） =P（ X≤x ）， x∈ （ ∞,+∞ ） 為 X的分布函數(shù) 。 【答疑編號 12020201】 解： 當 x1時， F（ x） =P{X≤x}=0 ； 當 1≤x0 時， F（ x） =P{X≤x}=P{X= 1}=； 當 0≤x1 時， F（ x） =P{X≤x}= P{X= 1}+ P{X=0}=+=； 當 1≤x2 時， F（ x） =P{X≤x}= P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}=++= 當 x≥2 時， F（ x） =P{X≤x}= P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=+++=1 則 X的分布函數(shù) F（ x）為 F（ x）的圖形如下： 由 F（ x）的圖形可知， F（ x）是分段函數(shù)， y= F（ x）的圖形是階梯形曲線， 在 X的可能取值 1， 0， 1， 2處為 F（ x）的跳躍型間斷點。 （ 2） F（ x）是不減函數(shù)， 即對于任意的 x1x2，有 F（ x1） ≤F （ x2）。 （ 4） F（ x）右連續(xù)，即 。 【答疑編號 12020202】 解： =a+0=a， 而 F（ +∞ ） =1， ∴a=1 =a+b=0 由此得 b=a=1 ： 設隨機變量 X的分布函數(shù)為 F（ x） , 則 （ 1） P{X≤b}=F （ b）； （ 2） P{aX≤b}=F （ b） F（ a），其中 ab； （ 3） P{Xb}=1F（ b） . 例題 【例 2－ 13】設隨機變量 X的分布函數(shù)為 求（ 1） ； 【答疑編號 12020203】 （ 2） ； 【答疑編號 12020204】 （ 3） 。 167。 解釋：連續(xù)型隨機變量的 “ 連續(xù) ” 指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個實軸上是連續(xù)函數(shù)。 【答疑編號 12020201】 解：當 x0時， 當 0≤x1 時， 當 1≤x2 時， 當 x≥2 時， 即 X的分布函數(shù)為 例題 【例 2－ 16】設連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為 求（ 1） X的概率密度 f（ x）； 【答疑編號 12020202】 （ 2） X落在區(qū)間（ ， ）的概率。 例題 【例 2－ 17】設某種型號電子元件的壽命 X（以小時計）具有以下的概率密度 現(xiàn)有一大批此種元件（設各元件工作相互獨立），問 （ 1）任取 1個，其壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020204】 （ 2）任取 4個， 4個元件中恰有 2個元件的壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020205】 （ 3）任取 4個， 4個元件中至少有 1個元件的壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020206】 解： （ 1）設隨機變量 X表示元件的壽命 P{X1500} （ 2）各元件工作相互獨立，可看做 4重貝努利試驗，觀察各元件的壽命是否大于 1500小時，令 Y表示 4個元件中壽命大于 1500小時的元件個數(shù)，則 Y～ B（ 4， ），所求概率為P{Y=2} 。 Ⅰ. 均勻分布 （ 1）定義：若隨機變量 X的概率密度為 ， 則稱 X服從區(qū)間 [a,b]上的均勻分布，記做 X～ U（ a,b）。 例題 【例 2－ 18】公共汽車站每隔 5分鐘有一輛汽車通過，乘客在 5分鐘內(nèi)任一時刻到達汽車站是等可能的，求乘客候車時間在 1～ 3分鐘內(nèi)的概率。 例題 【例 2－ 19】設 X服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，證明對任意的 s0， t0，有 . 此性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無記憶性。 ② 當 x=μ 時取得最大值 .在 x=μ177。 【答疑編號 12020208】 證明 。 【答疑編號 12020209】 =。 （ 2）求法：反查標準正態(tài)分布表。 隨機變量函數(shù)的概率分布 ：設 是已知連續(xù)函數(shù)， 為隨機變量，則函數(shù) 也是一個隨機變量，稱之為隨機變量的函數(shù) . 設離散型隨機變量的分布律為 則在隨機變量 的取值 , ，不同的情況下，其分布律為 但是，若 有相同的情況，則需要合并為一項 . 例題 1. P51 例 2－ 25 【例 2－ 25】設隨機變量 X的分布律為 求 的分布律。 例題 2. P52 例 2－ 26 【例 2－ 26】 X～ B（ 3， ）令 ，求 P｛ Y＝ 1｝。求 Y的概率密度。 【答疑編號 12020304】 （ 2） Y＝ aX+b的概率密度。 即 . 例 228說明兩個重要結(jié)論：當 時， ,且隨機變量 稱為X的標準化。 例題 5. P53 例 229 【例 2－ 29】設 ，令 Y=tanX，求 Y的概率密度 fY（ y）。 例題 6. P54 例 232 【例 2－ 32】設 X的概率密度為 求 的概率密度 。 【答疑編號 12020307】 解：當 y≤0 時， Y的分布函數(shù) ； 當 y＞ 0時， 其中 的分布函數(shù)，則 （ ） 特別地， X～ N（ 0,1），則 ， 由（ ）式得，當 y＞ 0時， 而當 ，即 注意：設 X～ N（ 0,1），則 的分布稱為 分布，其自由度為 1，記為 Y .本書后面將會講到一般的 分布。 考點分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 1題 2分 2題 2分 1題 2分 填空題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 計算題 1題 8分 1題 8分 1題 8分 綜合題 1題 4分 合計 4題 14分 5題 16分 4題 14分 內(nèi)容講解 167。 【答疑編號 12030101】 解：我們?nèi)?, = 111+0=10,不滿足第 4條性質(zhì)，所以不是。 【答疑編號 12030102】 解： （ 3）分布函數(shù) 由離散型二維隨機變量（ X， Y）分布律，可以求得其分布函數(shù) . 例題 3. P63 【例 3－ 3】設（ X,Y）的分布律為 求：（ 1） P{X=0}； 【答疑編號 12030103】 （ 2） P{Y≤2} ； 【答疑編號 12030104】 （ 3） P{X1,Y≤2} ； 【答疑編號 12030105】 （ 4） P{X+Y=2} 【答疑編號 12030106】 （ 1） {X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3} （ 2） {Y=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=1} {Y=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=2}， （ 3） {X＜ 1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2}, 且事件 {X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以 P{X＜ 1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=+= （ 4） {X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1}, 類似可得 P{X+Y=2}=P｛ X=0,Y=2｝ +P{X=1,Y=1}=+= 例題 4. P64 【例 3－ 4】現(xiàn)有 1， 2， 3三個整數(shù)， X表示從這三個數(shù)字中隨機抽取的一個整數(shù)， Y表示從 1至 X中隨機抽取的一個整數(shù)，試求（ X,Y）的分布律。P{Y=1|X=1}