【正文】 能的，求乘客候車時間在 1～ 3分鐘內(nèi)的概率。 例題 【例 2－ 17】設(shè)某種型號電子元件的壽命 X（以小時計）具有以下的概率密度 現(xiàn)有一大批此種元件（設(shè)各元件工作相互獨立），問 （ 1）任取 1個，其壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020204】 （ 2）任取 4個， 4個元件中恰有 2個元件的壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020205】 （ 3）任取 4個， 4個元件中至少有 1個元件的壽命大于 1500小時的概率是多少？ 【答疑編號 12020206】 解： （ 1）設(shè)隨機變量 X表示元件的壽命 P{X1500} （ 2）各元件工作相互獨立，可看做 4重貝努利試驗，觀察各元件的壽命是否大于 1500小時，令 Y表示 4個元件中壽命大于 1500小時的元件個數(shù)，則 Y～ B（ 4， ），所求概率為P{Y=2} 。 解釋：連續(xù)型隨機變量的 “ 連續(xù) ” 指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個實軸上是連續(xù)函數(shù)。 【答疑編號 12020202】 解： =a+0=a， 而 F（ +∞ ） =1， ∴a=1 =a+b=0 由此得 b=a=1 ： 設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為 F（ x） , 則 （ 1） P{X≤b}=F （ b）； （ 2） P{aX≤b}=F （ b） F（ a），其中 ab； （ 3） P{Xb}=1F（ b） . 例題 【例 2－ 13】設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為 求（ 1） ； 【答疑編號 12020203】 （ 2） ； 【答疑編號 12020204】 （ 3） 。 （ 2） F（ x）是不減函數(shù)， 即對于任意的 x1x2，有 F（ x1） ≤F （ x2）。 定義：設(shè) X為隨機變量，稱函數(shù) F（ x） =P（ X≤x ）， x∈ （ ∞,+∞ ） 為 X的分布函數(shù) 。 （ 3）泊松分布 定義：設(shè)隨機變量 X的可能取值為 0， 1， 2， ? ， n， ? ，而 X的分布律為 ， k＝ 0， 1， 2， ? ， 其中 λ0 ，則稱 X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，記做 X ～ P（ λ ） . 例題 【例 2－ 9】設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 5的泊松分布，求 （ 1） P{X=10}； 【答疑編號 12020208】 （ 2） P{X≤10} 。 （ 1） P{X≥2}=1 P{X=0}P{X=1} 。 泊松定理的應(yīng)用：當(dāng) n很大， p很小時，二項分布可以用泊松逼近來近似計算?，F(xiàn)有 10人服用，問至少有 8人治愈的概率是多少？ 【答疑編號 12020204】 解：設(shè) X為 10人中被治愈的人數(shù)，則 X～ B（ 10， ） 而所求概率為 P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10} = 例題 【例 2－ 7】設(shè) X～ B（ 2， p）， Y～ B（ 3， p）。 （ 1） 0－ 1分布（兩點分布） 定義：若隨機變量 X只取兩個可 能值 0， 1，且 P{X＝ 1}＝ p， P{X＝ 0}＝ q, 其中 0p1， q＝ 1－ p, 則稱 X服從 0－ 1分布，其分布律為 舉例：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面，向靶子射一發(fā)子彈等。如果每次射擊的命中率為 p，求射擊次數(shù) X的分布律。 【答疑編號 12020201】 解：由分布律性的性質(zhì)知 1=+c+ 解得 c=。如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)，醫(yī)院門診一天接待的患者數(shù)，某停車場內(nèi)停放的車輛數(shù)，等等，都是離散型隨機變量。 （ 4）解釋： ① 隨機變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個值的，即具有隨機性，因此稱為 “ 隨機變量 ” ； ② 在一次隨機試驗中，可以根據(jù)不同的需要來定義不同的隨機變量。如：擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量 X，則 X＝ 1， 2， 3， 4， 5， 6分別表示事件 “ 出現(xiàn)一點 ” ， “ 出現(xiàn)二點 ” ， ? ， “ 出現(xiàn)六點 ” 。 ：離散型隨機變量及其分布律，連續(xù)型隨機變量及其概率密度，二項分布與正態(tài)分布。 考點分析 2 選擇題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 填空題 2題 4分 2題 4分 2題 4分 計算題 1題 8分 綜合題 1題 4分 1題 12分 合計 5題 12分 4題 14分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。另一類：試驗結(jié)果不是用數(shù)量表示的，如：擲硬幣，雙方比賽的結(jié)果等，可以人為賦值，如擲硬幣，設(shè)結(jié)果為隨機變量 Y， “ 出現(xiàn)正面 ” 用 “Y ＝ 1” 表示， “ 出現(xiàn)反面 ” 用 “Y ＝ 0” 表示。 ③ 引入隨機變量后，可用隨機變量來描述事件，如擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的 點數(shù)為隨機變量 X，則 “ 出現(xiàn) 4點 ” 可表示為 {X＝ 4}， “ 不少于 4點 ” 可表示為 {X≥4}, 等等。 （ 2）離散型隨機變量的分布律：設(shè) X為離散型隨機變量，可能取值為 x1， x2， ? ， xk， ? ，且 P{X＝ xk }＝ pk， k＝ 1， 2， ? ，則稱 { pk }為 X的分布律（或分布列，概率分布）。 例題 【例 2－ 4】已知一批零件共 10個，其中有 3個不合格，現(xiàn)任取一 件使用，若取到不合格零件，則丟棄，再重新抽取一個，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個數(shù) X的分布律。 【答疑編號 12020203】 解： X的取值為 1， 2， ? 。 （ 2） 二項分布 定義：若隨機變量 X的可能 取值為 0， 1， 2， ? ， n，而 X的分布律為 ， k＝ 0， 1， 2， ? ， n 其中 0p1， q＝ 1－ p, 則稱 X服從參數(shù)為 n， p的二項分布，記做 X～ B（ n,p）。設(shè) ，試求 P{Y≥1} 。 在實際計算中，當(dāng) n≥20 ， p≤ 時計算 效果頗佳。 （ 2） P{X≤5} =。 【答疑編號 12020209】 解：（ 1）查附表 2中 λ 這一欄的數(shù)據(jù)，可得 P{X=10}=P{X≥10} P{X≥11} = （ 2） P{X≤10}=1 P{X≥11} = 例題 【例 2－ 10】設(shè) X服從泊松分布，且已知 P{X=1}=P{X=2}，求 P{X=4} 【答疑編號 12020200】 解 設(shè) X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，則 ， 由已知得 解得 λ=2 ，則 167。 離散型隨機變量 X的分布函數(shù)為 . 例題 【例 2－ 11】設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 求 X的分布函數(shù)。 （ 3） F（ ∞ ） =0， F（ +∞ ） =1，即 ， 。 【答疑編號 12020205】 解：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） 。 （ 2） 概率密度的性質(zhì) ： ① f （ x） ≥0 ； ② ； ③ ； ④ 設(shè) x為 f（ x）的連續(xù)點，則存在 ，且 . （ 3）概率密度的直觀解釋 例題 【例 2－ 15】設(shè)隨機變量 X的概率密度為 求 X的分布函數(shù) F（ x）。 （ 3）所求概率為 P{Y≥1}=1 P{Y=0} 。 【答疑編號 12020207】 解：設(shè) X表示乘客的候車時間，則 X～ U（ 0， 5），其概率密度為 所求概率為 P{1≤x≤3} Ⅱ. 指數(shù)分布 （ 1）定義：若隨機變量 X的概率密度為 ， 其中 λ0 為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，記做 X～ E（ λ ） . （ 2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為 ， （ 3）實際應(yīng)用：電子元器件的使用壽命，動物的壽命，電話的通話時間，接受服務(wù)的時間等等，都可以假定服從指數(shù)分布。σ 處曲線有拐點，曲線以 x軸為漸近線 . ③ 當(dāng) σ 給定， μ 1μ 2時，對應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿 x軸互相平移得到 . ④ 當(dāng) μ 給定， σ 1σ 2時，對應(yīng)的密度函數(shù)的圖象如圖下圖所示， σ 越小，圖象越尖銳， σ 越大，圖象越平緩 . （ 3）分布函數(shù)為 . （