【正文】 例：從 52張牌中任取 2張，采用 (1)放回抽樣，（ 2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。 例如： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P B C A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A P B A P B P A B? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( | )P A B C P A P B A P C A B?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()( | )()P ABP B APA?( ) 0PA ?二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)： 32 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有 80% 的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。 23 例 1：一袋中有 8個(gè)球，編號(hào)為 1－ 8，其中 1－ 3 號(hào)為紅球， 4－ 8號(hào)為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機(jī)摸一球， 記 A={ 摸到紅球 }，求 P(A)． 解： S={1,2,?,8} A={1,2,3} ? ? 38PA??24 例 2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記 A={恰是一紅一黃 }，求 P(A)． 解： 1 1 23 5 815( ) / 5 3 . 6 %28P A C C C? ? ?( ) / , 0 , 1 , ,k n k nk D N D NP A C C C k n????0LmC ?（注：當(dāng) Lm或 L0時(shí)，記 ） 例 3：有 N件產(chǎn)品，其中 D件是次品，從中不放 回的取 n件， 記 Ak＝ {恰有 k件次品 }，求 P(Ak)． 解： 25 例 4：將 n個(gè)不同的球，投入 N個(gè)不同的盒中 (n≤N )，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記 A＝ { 恰有 n個(gè)盒子各有一球 }，求 P(A)． 解： n 1 2 N ① ② …… ② 1 2 N ① ② ① 1 2 N ① ② 1 2 N …… !nNCn?? ( ) ! /nnNP A C n N? ? ?( ) 1 ! / 0 . 9 9 7nnNP A C n N? ? ? ? ? 即當(dāng) n＝ 2時(shí)，共有 N2個(gè)樣本點(diǎn)；一般地， n個(gè)球放入 N個(gè)盒子中，總樣本點(diǎn)數(shù)為 Nn，使 A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù) 可解析為一個(gè) 64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為%． 若取 n＝ 64， N＝ 365 26 例 5：一單位有 5個(gè)員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有 2人在同一天休息的 概率。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 21 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B P B A P B P A P B P A? ? ? ? ? ?，若 則有 3 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ?概率的加法公式：1 ( ) 1 ( )P A P A??性質(zhì)： AAS? ( ) ( ) 1P A P A? ? ? ( ) 0P? ? ?B A A B? ( ) ( ) ( )P B P A P A B? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) 0P B P A P A B P B A? ? ? ? ? ?( ) ( )P B P??()A B A B A B?? ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ? ?2 ( ) ( ) ( )B A B P B A B P B P A B? ? ? ?。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 20 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測(cè)度，且滿足： 稱 P(A)為事件 A的 概率 。 例： ? 中國(guó)國(guó)家足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了 n次，其中成功了一次，則在這 n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 ? 某人一共聽了 17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有 15次遲到，記 A={聽課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。? 當(dāng) AB=Φ時(shí)，稱事件 A與 B不相容的，或互斥的。 例： 觀察 89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將 S亦視作事件，則每次試驗(yàn) S總是發(fā)生， 故又稱 S為 必然事件 。 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果； ? 對(duì)某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)； ? 對(duì)某批電子產(chǎn)品測(cè)試其輸入電壓； ? 對(duì)聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記； 11 167。2022/3/14 1 浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。 2 樣本空間 為方便起見，記 Φ為 不可能事件 ， Φ不包含 任何樣本點(diǎn)。 15 ? “和”、“交”關(guān)系式 1211nni i niiA A A A A??? ＝；1211nni i niiA A A A A???? ；AB?AB?A B AB??A B A B??S A B AS A { | }A B A B x x A x B? ? ? ? ?且? , A A S A B SA A A BABAA? ?? ???? ????? ??的 記為 , 逆事件 互若 , 稱 逆、互斥? 例：設(shè) A={ 甲來聽課 }， B={ 乙來聽課 } ，則： {甲、乙至少有一人來 } {甲、乙都來 } {甲、乙都不來 } {甲、乙至少有一人不來 } 16 167。 An() n AfAn n? ；()nfA1n；( ) 15 17 88 %nfA ??()nfA試驗(yàn) 序號(hào) n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 表 1 例：拋硬 幣 出 現(xiàn) 的正面的 頻 率 18 實(shí)驗(yàn) 者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12022 6019 K?皮爾遜 24000 12022 表 2 19 ** 頻率的性質(zhì)： 且 隨 n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為 p． ()nfA12111 0 ( ) 12 ( ) 13 , ( ) ( )nnk kk n i n iiifAfSA A A f A f A?????? ?。 ()nfA1 0 ( ) 1PA??。又 ，由 知( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ? ?3 。 解：將 5為員工看成 5個(gè)不同的球， 7天看成 7個(gè)不同的盒子， 記 A={ 無 2人在同一天休息 }， 則由上例知： ? ?5755! %7CPA ???27 例 6: (抽簽問題 )一袋中有 a個(gè)紅球， b個(gè)白球，記 a＋ b＝ n． 設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸 n次。 167。求該廠產(chǎn) 品的報(bào)廢率。 1 2 1 2( ) ( )P B P A A A A??1 2 1 1 2 1( ) ( | ) ( ) ( | )P A P A A P A P A A? ? ? ?1 1 121 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2P B C? ? ? ? ? ?1 1 22 6 2 6 5 22 6 2 6 2 6 2 6 2 6( ) /5 2 5 1 5 2 5 1 5 1P B C C C? ? ? ? ? ?利用乘法公式 與 不相容 12AA 12AA1 2 1 2( ) ( )P A P A A??（ 1）若為放回抽樣： （ 2）若為不放回抽樣： 解： 設(shè) Ai={第 i次取到紅牌 }， i=1,2 B={取 2張恰是一紅一黑 } 35 三、全概率公式與 Bayes公式 定義：設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間， B1,B2,?,B n 為 E的一組事件。 B1,B2,?,B n為 S的一個(gè)劃分， P(Bi)0， i=1,2,?,n ； 則稱： 12 nA A S A B A B A B? ? ? ? ??? ?1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP B P A BP B AP B P A B???()( | )()iiP B AP B APA?? ?ijA B A Bij?與不相容1( ) ( ) ( | )njjjP A P B P A B????為 全概率公式 1( ) ( )njjP A P A B??? ?1( ) ( | )njjjP B P A B????B1 B2 Bn S A 證明： 定理：接上定理?xiàng)l件， 稱此式為 Bayes公式。 40 167。42 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為 ，乙擊中率為 ，求目標(biāo)被 擊中的概率。 。 此結(jié)論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對(duì)嗎？試舉例證明之。從中任意取一球 設(shè) 取到白球 則 取到紅球 且設(shè)樣本空間為中有兩個(gè)樣本點(diǎn)而 是其中一個(gè)樣本點(diǎn)問 對(duì)嗎？47 ？ A和 B為兩隨機(jī)事件，試舉例說明 P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 49 第二章 隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù) 50 167。 53 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為 p， 0p1，若查到一只次品就 得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測(cè)到 X只產(chǎn)品， 試寫出 X的概率分布律。 55 例： 1. 獨(dú)立重復(fù)地拋 n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果： 正面，反面， 如果是不放回抽樣呢？ ,AA,AA? ? 12P ?出現(xiàn)正面? ? 16PA ?? ? 12PA ? n次，設(shè) A={得到 1點(diǎn) }，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果： 52張牌中 有放回 地取 n次，設(shè) A={取到紅牌 }，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果： 56 設(shè) A在 n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生 X次，則 并稱 X服從參數(shù)為