【正文】 數(shù)學(xué)期望 )(XE 是 X 的一階原點(diǎn)矩 。 )( lkYXE 為 X 和 Y 的 lk? 階混合矩 。 )|(| kXE 為 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩 。 || XY? 的值越近于 0, Y與 Y的線性相關(guān)程度越弱 . 當(dāng) 1|| ?XY? 時(shí) , Y與 X的變化可完全由 X的線性函數(shù)給出 . 當(dāng) 0?XY? 時(shí) , Y與 X之間不是線性關(guān)系 . 4. 設(shè) ,)]([ 2baXYEe ??? 稱為用 baX? 來近似 Y的均方誤差 ,則有下列結(jié)論 . 設(shè) ,0)(,0)( ?? YDXD 則 )()(,)( ),c o v ( 000 XEaYEbXD YXa ???使均方誤差達(dá)到最小 . 注 : 我們可用均方誤差 e來衡量以 baX? 近似表示 Y的好壞程度 , e值越小表示 baX? 與Y 的近似程度越好 .且知最佳的線性近似為 .0 bXa ? 而其余均方誤差 )1)(( 2XYYDe ??? . 從這個(gè)側(cè)面也能說明 . || XY? 越接近 1, e越小 .反之 , || XY? 越近于 0, e就越大 .Y與 X的線性相關(guān)性越小 . 四、矩的概念 定義 設(shè) X 和 Y 為隨機(jī)變量 , lk, 為正整數(shù) , 稱 )( kXE 為 k 階原點(diǎn)矩 (簡(jiǎn)稱 k 階矩陣 )。1|| ?XY? 2. 若 X 和 Y 相互獨(dú)立 , 則 0?XY? . 3. 若 0,0 ?? DYDX ,則 1|| ?XY? 當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) ).0(, ?aba 使 1}{ ??? baXYP , 而且當(dāng) 0?a 時(shí) , 1?XY? 。 CXC ,0),cov()4( ? 為任意常數(shù) 。(),c ov()1( XDXX ? )。 類似地，稱 dxyxfyYXExyYXDYX )|()]|([)|( |2? ???? ????（絕對(duì)收斂）為在 yY? 條件下 X 的條件方差 . 例題選講 : 方差的計(jì)算 例 1 (講義例 1) 設(shè)隨機(jī)變量 X 具 有數(shù)學(xué)期望 ,)( ??XE 方差 .0)( 2 ???XD 記,* ???? XX 則 。 類似地，稱 ??????? dxyxxfyYXE YX )|(]|[ |（絕對(duì)收斂）為在 yY? 條件下 X 的條件數(shù)學(xué)期望 。())((((2)()()( YEYXEXEYDXDYXD ?????? 特別地 , 若 YX, 相互獨(dú)立 , 則 ).()()( YDXDYXD ??? 注 : 對(duì) n 維情形 , 有 : 若 nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立 , 則 .)(,)( 1 2111 ???? ???? ?????????????? ni iini iini ini i XDCXCDXDXD 四、 條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡(jiǎn)介 由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系 , 一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能會(huì)對(duì)另一隨機(jī)變量的分布產(chǎn)生影響 , 這種影響會(huì)在數(shù)字特征上得到反映 . 下面要討論的是：在某個(gè)隨機(jī)變量取某值的條件下，求另一個(gè)與之相關(guān)的隨機(jī)變量的數(shù)字特征 . 作為簡(jiǎn)介，這里我們直接給出它們的定義 . 1. 設(shè) ),( YX 是離散型隨機(jī)向量 , 其概率 分布為 ),2,1,2,1(},{ ?? ????? jipyYxXP ijji 定義 2 (i) 稱 }|{)|(ijj ji xXyYPyxXYE ???? ?（絕對(duì)收斂）為在 ixX? 條件下 Y 的條件數(shù)學(xué)期望 . 類似地，稱 }|{)|(jii ii yYxXPxyYXE ???? ?（絕對(duì)收斂）為在 iyY? 條件下 X 的條件數(shù)學(xué)期望 。 2. 若 X 是隨機(jī)變量 , 若 C 是常數(shù) , 則 )。 (3)若方差 0)( ?XD , 則隨機(jī)變量 X 以概率 1取常數(shù)值 ,此時(shí) X 也就不是隨機(jī)變量了 . 二、 方差的計(jì)算 若 X 是 離散型 隨機(jī)變量 ,且其概率分布為 ?,2,1,}{ ??? ipxXP ii 則 。1 50 0,1元一臺(tái)付款元一臺(tái)付款元一臺(tái)付款元一臺(tái)付款?????XXXX 設(shè)壽命 X 服從指數(shù)分布 , 概率密度為 ? ????????? ?.0,00,101 10/xxexf x 試求該商店一臺(tái)電器收費(fèi) Y 的數(shù)學(xué)期望 . 例 6 (講義例 5) 設(shè)隨機(jī)變量 ,127)(),(~ ?XExfX 且 ??? ???? 其它,0 10,)( xbaxxf 求 a與 b的值 , 并求分布函數(shù) )(xF . 例 7 有 2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置 , 它們的壽命 )2,1( ?kXk 服 從統(tǒng)一指數(shù)分布 ,其概率密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ?? , .0?? 若將這 2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī) , 求整機(jī)壽命 (以小時(shí)計(jì) )N 的數(shù)學(xué)期望 . 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例 8 (講義例 6) 設(shè) ),( YX 的聯(lián)合概率分布為 : Y X 0 1 2 3 1 3 0 1/8 3/8 0 3/8 0 0 1/8 求 ).(),(),( XYEYEXE 例 9 (講義例 7) 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 ],0[? 上服從均勻分布 , 求 )(),(sin 2XEXE 及.)]([ 2XEXE ? 例 10 (講義例 8) 設(shè)隨機(jī)變量 ),( YX 的概率密度 ????? ????.,0,1,1,2 3),( 23其它xxyxyxyxf 求數(shù)學(xué)期望 .1),( ?????? XYEYE 例 11 (講義例 9) 設(shè)某商店經(jīng)營(yíng)一種商品 , 每周的進(jìn)貨量 X和顧客對(duì)該種商品的需求量 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 均服從 [10,20]上的均勻分布 . 此商店每售出一個(gè)單位的商品可獲利 1000元 , 若需求量超過進(jìn)貨量 , 可從其他商店調(diào)劑供應(yīng) , 此時(shí)售出的每單位商品僅獲利500元 . 求此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望 . 例 12 設(shè) )(),( 2XEXE 均存在，證明 222 )]([)()]([ XEXEXEXE ??? . 例 13 （二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望）若 ),(~ pnbX 求 ).(XE 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 例 14 (講義例 10) 一民航送各車載有 20 位旅客自機(jī)場(chǎng)開出 , 旅客有 10個(gè)車站可以下車 . 如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車 . 以 X 表示停車的次數(shù) , 求 E(X) (設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的 , 并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立 ). 課堂練習(xí) 1. 設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲 , 假定游戲的規(guī)則不公正 , 以致兩人獲勝的概率不等 ,甲為 p , 乙為 q , ,qp? 1??qp . 為了補(bǔ)償乙的不利地位 , 另行規(guī)定兩人下的賭注不相等 , 甲為 a , 乙為 b , ba? . 現(xiàn)在的問題是 : a 究竟應(yīng)比 b 大多少 , 才能做到公正 ? 2. 某種新藥在 400 名病人中進(jìn)行臨床試驗(yàn)有一半 人服用，一班人未服，經(jīng)過 5 天后，有 210人痊愈，其中 190人是服了新藥的 .試用概率統(tǒng)計(jì)方法說明新藥的療效 . 3. 把數(shù)字 n,2,1 ? 任意地排成一列 , 如果數(shù)字 k 恰好出現(xiàn)在第 k 個(gè)位置上 , 則稱為一個(gè)巧合 , 求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 第二節(jié) 方差 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量 取值水平 的綜合評(píng)價(jià) , 而隨機(jī)變量 取值的穩(wěn)定性 是判斷隨機(jī)現(xiàn)象性質(zhì)的另一個(gè)十分重要的指標(biāo) . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 方差的定義 ★ 方差的計(jì)算 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 方差的性質(zhì) ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 補(bǔ)充說明 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 條件期望與條件方差簡(jiǎn)介 ★ 例 13 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 42 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、 方差的定義 定義 1 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 若 2)]([( XEXE ? 存在 ,則稱它為 X 的 方差 , 記為 .)]([)( 2XEXEXD ?? 方差的算術(shù)平方根 )(XD 稱為 標(biāo)準(zhǔn)差 或 均方差 , 它與 X 具有相同的度量單位 , 在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用 . 方差刻劃了隨機(jī)變量 X 的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度 ,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性 . 從方差 的