【導(dǎo)讀】量的統(tǒng)計規(guī)律性.例如,在評價某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時,通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量;要的意義,它們能更直接、更簡潔更清晰和更實用地反映出隨機變量的本質(zhì).本章將要討論的隨機變量的常用數(shù)字特征包括:數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩.平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征,它對評判事物、作出決策等具有重要作用.絕對收斂,定義X的數(shù)學(xué)期望為.)()(??也是一隨機變量,理論上,雖然可通。比較復(fù)雜.下面不加證明地引入有關(guān)計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理.定理1設(shè)X是一個隨機變量,)(XgY?這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便;2．若k是常數(shù)，則);()(XkEkXE?不一定能推出YX,獨立，例如，在例10中，已計算得。這個性質(zhì)可推廣到有限個隨機變量之和的情形.的泊松分布,若規(guī)定。一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.kXk服從統(tǒng)一指數(shù)分布,其。例9設(shè)隨機變量X在],0[?上服從均勻分布,求)(),(sin2XEXE及

　　

【正文】 1,0(~1211 ?????? ????? ni ini ini i XnXnNXNnXnNnnX?????? 近似近似 故定理又可表述為 : 均值為 ? , 方差的 02?? 的獨立同分布的隨機變量?? , 21 nXXX 的算術(shù)平均值 X , 當(dāng) n 充分大時近似地服從均值為 ? ,方差為 n/2? 的正態(tài)分布 . 這一結(jié) 果是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ) . 2. 棣莫佛 — 拉普拉斯定理 在第二章中，作為二項分布的正態(tài)近似，我們曾經(jīng)介紹了 棣莫佛 — 拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之 . 定理 7（棣莫佛 — 拉普拉斯定理） 設(shè)隨機變量 nY 服從參數(shù) pn, )10( ??p 的二項分布 , 則對任意 x , 有 )(21)1(lim 22 xdtexpnp npYP x tnn ????????????? ??? ? ?? ??? ? 注 : 易見，棣莫佛 — 拉普拉斯定理就是林德伯格 — 勒維定理的一個特殊情況 . 3．用頻率估計概率的誤差 設(shè) n? 為 n 重貝努里試驗中事件 A 發(fā)生的頻率 , p 為每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率 , ,1 pq ?? 由棣莫佛 — 拉普拉斯定理 ,有 ?????????? ??????????? ?? pqnnpq nppqnPpnP nn ????? .12 ??????????????????? ????????????? pqnpqnpqn ??? 這個關(guān)系式可用解決用頻率估計概率的計算問題 : 4. 李雅普諾夫定理 定理 8（李雅普諾夫定理） 設(shè)隨機變量 ?? , 21 nXXX 相互獨立 , 它們具有數(shù)學(xué)期望和方差 : ?,2,1,0)(,)( 2 ???? iXDXE kkkk ?? ，記 .122 ???nk knB ? 若存在正數(shù) ? , 使得當(dāng)??n 時 , ,0}|{|1 1 22 ???? ?? nk kkn XEB ?? ? 則隨機變量之和 ??nk kX1的標準化變量 : nnkknkknkknkknkkn BXXDXEXZ?????????????????????????????? 11111? 的分布函數(shù) )(xFn 對于任意 x , 滿足 ).(21lim)(lim 2/11 2 xdtexBXPxF x tnnk knk knnn ????????????? ??? ???????????? ?? 注 ：定理 8表明 , 在定理的條件下 , 隨機變量 .11nnk knk kn BXZ ?????? ? 當(dāng) n 很大時 ,近似地服從正態(tài)分布 )1,0(N . 由此 , 當(dāng) n 很大時 , ???? ??nk knnnk k ZBX 11 ?近似地服從正態(tài)分布?????????? 21 , nnk k BN ?.這就是說 ,無論各個隨機變量 ),2,1( ??kXk 服從什么分布 ,只要滿足定理的條件 ,那么它們的和 ??nk kX1當(dāng) n 很大時 ,就近似地服從正態(tài)分布 .這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因 .在很多問題中 ,所考慮的隨機變量可以表示成很多個獨立的隨機變量之和 ,例如 ,在任一指定時刻 ,一個城市的耗電量是大量用戶耗電量的總和 。一個物理 實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的 ,它們往往近似地服從正態(tài)分布 . 例題選講： 切比雪夫不等式 例 1 (講義例 1) 已知正常男性成人血液中 , 每一毫升白細胞數(shù)平均是 7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在 5200~9400之間的概率 . 例 2 (講義例 2) 在每次試驗中 , 事件 A 發(fā)生的概率為 , 利用切比雪夫不等式求 : 事件 A 出現(xiàn)的頻率在 ~ 間的概率至少為 ? 切比雪夫大數(shù)定律 例 3 (講義例 3) 設(shè) }{kX 為相互獨立的隨機變量序列 , 且 ,2121121 20212212 ?? ??kkkkkkpX ?,2,1?k 試證 }{kX 服從大數(shù)定律 . 辛欽大數(shù)定理 例 4 (講義例 4) 設(shè) }{kX 為相互獨立且同分布的隨機變量序列 , 并且 kX 的概率分布為 ),2,1(2}2{ ln2 ???? ?? iXP iiik 試證 }{kX 服從大數(shù)定律 . 中心極限定理 例 5 在一個罐子中，裝有 10個編號為 09的同樣的球，從罐中放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼 . 設(shè) ???? 否則次取到號碼第,0 0,1 kX k, nk ?,2,1? 問對序列 }{kX 能否應(yīng)用大數(shù)定律？ 例 6 (講義例 5) 一盒同型號螺絲釘共有 100個 ,已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴?一個隨機變量 ,期望值是 100g標準差是 10g, 一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ . 例 7 (講義例 6)一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于 ?3 的概率為 ,3/1?p 若船舶遭受了 90000次波浪沖擊，問其中有 29500~30500次縱搖角度大于 ?3 的概率是多少？ 例 8 對于一個學(xué)校而言 , 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量 , 設(shè)一個學(xué)生無家長 , 1名家長 , 2名家長 來參加會議的概率分別 , , . 若學(xué)校共有 400名學(xué)生 , 設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立 , 且服從同一分布 . (1)求參加會議的家長數(shù) X 超過 450的概率 。 (2)求有 1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于 340的概率 . 例 9 (講義例 7)（供電問題）某車間有 200臺車床 , 在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工作等常需停車 . 設(shè)開工率為 ,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的 , 且在開工時需電力 1千瓦 . 問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以 %的 概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn) ? 例 10 設(shè)有 1000 人獨立行動 , 每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為 . 以 95%概率估計 , 在一次行動中 : (1)至少有多少人能進入掩蔽體 。 (2)至多有多少人能進入掩蔽體 . 例 11 (講義例 8) 設(shè)一大批產(chǎn)品中一級品率為 10%, 現(xiàn)從中任取 500件 . (1) 分別用切比雪夫不等式估計和中心極限定理計算 : 這 500件中一級品的比例與 10%之差的絕對值小于 2%的概率 。 (2) 至少應(yīng)取多少件才能使一級品的比例與 10%之差的絕對值小于 2%的把握大于 95%? 用 頻率估計概率的誤差 例 12 (講義例 9 現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批同型號電子元件中抽取 395件 , 由于次品率未知 ,需要通過次品的相對頻率來估計 , 這時估計的可靠性大于 95%. (1)求絕對誤差 ? 。 (2)如果樣品中有十分之一是次品 , 應(yīng)對 p 怎樣估計 ? 李雅普諾夫定理 例 13 (講義例 10 高爾頓釘板試驗 如圖 442 是高爾頓釘板 , 常常在賭博游戲中見到 , 莊家常常在兩邊放置值錢的東西來吸引顧客 , 現(xiàn)在可用中 心極限定理來揭穿這個賭博中的奧秘 . 設(shè) n 為釘子的排數(shù) , 記隨機變量 ??? ?? 下次碰球后小球從右邊落第 下次碰球后小球從左邊落第 iiX i 1,1 易見 , iX 服從兩點分布 : ?,2,)(,0)(,2/12/1 11 ???? iXDXEpX iiii 設(shè) nY 表示第 n 次碰釘后小球的位置 , 顯然 , ???? 1i in XY, 由中心極限定理知 nY 近似服從正態(tài)分布 ),0( nN ,0)( ?nYE .)( nYD n ? 如圖 442, 釘板有 16?n 層 ,則標準差 416??? ,由正態(tài)分布的特征 , 小球落入中間的概率遠遠大于落入兩邊的概率 . 課堂練習(xí) 1. 證明馬爾可夫 (Markow) 大數(shù)定律 :若隨機變量序列 ?? , 21 nXXX 滿足馬爾可夫條件 : ????????????? nXDn ni i ,01 12 則對任意 0?? 111lim 11 ??????????? ?? ?? ???? ??ni ini in nXnP 其中 .,2,1),( ??? iXE ii? 2. 某地有甲、乙兩個電影院競爭當(dāng)?shù)孛刻斓?1000 名觀眾 , 觀眾選擇電影院是獨立的和隨機的 . 問 : 每個電影院至少應(yīng)設(shè)有多少個座位 , 才能保證觀眾因缺少座位而離去的概率小于1%?