概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量-資料下載頁
2025-08-21 20:20本頁面
【導(dǎo)讀】有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.構(gòu)成二維隨機(jī)向量(H,W).向量，常用表示。隨機(jī)向量（，）上一.設(shè)()是（，）上的一個(gè)。12,,,nnXXX或個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。o2(,)Fxyxy關(guān)于變量和單調(diào)非降。即對(duì)于當(dāng)時(shí)，有；二元函數(shù)作為隨機(jī)向量的分布函數(shù)的四個(gè)基本條件。值及分布規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的分布規(guī)律.這個(gè)分布稱為二維指數(shù)分布，其中。均為離散型隨機(jī)變量。,XY則稱（）為二維離散型隨機(jī)向量。很方便地求出取值于任何區(qū)域上的概率，的邊緣概率分布。和”，列在該表的最后一列和最后一行。
【正文】 1,21x x y yf x y e? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ????221 2 1 2, , , ,? ? ? ? ?120 , 0 , 1 ,? ? ?? ? ? ? ?,XY ? ?221 2 1 2, 。 , 。? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 1 2, ~ , 。 , 。X Y N ? ? ? ? ?? ?12, , ,?? ? ? ? ? ?二維正態(tài)分布的圖形 12( , )??以 為 中 心 ， 在 中 心 附 近 具 有 較 高 的 密 度 ，離 中 心 越 遠(yuǎn) ， 密 度 越 小 。1 ( , )xy?（ ） 的 特 征12xy????? ??呈 鐘 形 ， 軸 對(duì) 稱 圖 形 ， 關(guān) 于 軸 對(duì) 稱 ；（ 2 ） 邊 緣 分 布221 2 1 2( , ) ~ ( , 。 , 。 )X Y N ? ? ? ? ?211~ ( , )XN ?? ，222~ ( , ) .YN ???例 證明：當(dāng) 有 ? 證 根據(jù)邊緣密度函數(shù)定義得到的密度函數(shù)為 ? 令 ，則上式可化為 ? ? ? ?221 2 1 2, ~ , 。 , 。X Y N ? ? ? ? ?? ? ? ?221 1 2 2~ , , ~ ,X N Y N? ? ? ?? ? ? ?,Xf x f x y d y????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222212121 221212121x x y ye dy? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ??? ? ???????1212,xyut????????? ?2221 22 121121u u t te d t??? ? ???? ? ????? ??????? ? ? ?? ?221221 21221112 21tuxe e dt?????? ???????? ??????? ? 2121211 ,2xe???????? ?211~,XN ??可見 .對(duì)稱地，可知 的密度函數(shù)為 ，即 . 比較 和 聯(lián)合密度函數(shù) 和邊緣密度函數(shù) 和 ， 我們注意到 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 . ? ?? ? 22222212yYf y e??????? ? ?222~,YN ??? ?,f x yYYX ? ?Xfx? ?Yfy 0? ?? ?,xy ， ? ? ? ? ? ?, XYf x y f x f y??有 ：? 上述討論實(shí)際上說明： （ 1） 二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布 ，它們的參數(shù)對(duì)應(yīng)于二元正態(tài)分布的前 4個(gè)參數(shù)； （ 2） 不同的二維正態(tài)分布，比如不同的 ，可以有相同的邊緣分布，因而由邊緣分布不能惟一確定聯(lián)合分布 .為了確定一個(gè)二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，除了知道邊緣分布以外，還必須知道參數(shù) 的值 .特別地， 如果 ，則聯(lián)合密度函數(shù)可以由邊緣密度函數(shù)確定 . ? 需要指出的是， 兩個(gè)邊緣分布為正態(tài)分布的二維隨機(jī)向量未必服從二維正態(tài)分布 . ??0? ?例 設(shè)隨機(jī)向量 的密度函數(shù)為 求 的邊緣密度函數(shù) . ? 解 ? ?,XY2221( , ) ( 1 s i n s i n )2xyf x y e x y?????? ?,XY? ? ? ?2221, ( 1 s i n s i n )2xyXf x f x y d y e x y d y??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???2 2 2 22211 s i n s i n22x y x ye d y e x y d y????? ? ? ???? ? ? ?????由于第二個(gè)積分中的被積函數(shù) 是關(guān)于 的奇函數(shù)，所以積分為 0. 2221 s i n s i n2xye x y???y? 而 ? 類似可求 ? 該例題表明， 盡管 的邊緣概率分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但是 的聯(lián)合分布不是二元正態(tài)分布 . ? ?2 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 2x y x y xXf x e d y e e d y e? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ?2212yYf y e???? ?,XY? ?,XY
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