概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機向量(參考版)
2024-09-03 20:20本頁面
【正文】 X Y N ? ? ? ? ?? ? ? ?221 1 2 2~ , , ~ ,X N Y N? ? ? ?? ? ? ?,Xf x f x y d y????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222212121 221212121x x y ye dy? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ??? ? ???????1212,xyut????????? ?2221 22 121121u u t te d t??? ? ???? ? ????? ??????? ? ? ?? ?221221 21221112 21tuxe e dt?????? ???????? ??????? ? 2121211 ,2xe???????? ?211~,XN ??可見 .對稱地，可知 的密度函數(shù)為 ，即 . 比較 和 聯(lián)合密度函數(shù) 和邊緣密度函數(shù) 和 ， 我們注意到 ， 當且僅當 時，對一切 . ? ?? ? 22222212yYf y e??????? ? ?222~,YN ??? ?,f x yYYX ? ?Xfx? ?Yfy 0? ?? ?,xy ， ? ? ? ? ? ?, XYf x y f x f y??有 ：? 上述討論實際上說明： （ 1） 二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布 ，它們的參數(shù)對應于二元正態(tài)分布的前 4個參數(shù)； （ 2） 不同的二維正態(tài)分布，比如不同的 ，可以有相同的邊緣分布，因而由邊緣分布不能惟一確定聯(lián)合分布 .為了確定一個二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，除了知道邊緣分布以外，還必須知道參數(shù) 的值 .特別地， 如果 ，則聯(lián)合密度函數(shù)可以由邊緣密度函數(shù)確定 . ? 需要指出的是， 兩個邊緣分布為正態(tài)分布的二維隨機向量未必服從二維正態(tài)分布 . ??0? ?例 設(shè)隨機向量 的密度函數(shù)為 求 的邊緣密度函數(shù) . ? 解 ? ?,XY2221( , ) ( 1 s i n s i n )2xyf x y e x y?????? ?,XY? ? ? ?2221, ( 1 s i n s i n )2xyXf x f x y d y e x y d y??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???2 2 2 22211 s i n s i n22x y x ye d y e x y d y????? ? ? ???? ? ? ?????由于第二個積分中的被積函數(shù) 是關(guān)于 的奇函數(shù)，所以積分為 0. 2221 s i n s i n2xye x y???y? 而 ? 類似可求 ? 該例題表明， 盡管 的邊緣概率分布都是標準正態(tài)分布，但是 的聯(lián)合分布不是二元正態(tài)分布 . ? ?2 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 2x y x y xXf x e d y e e d y e? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ?2212yYf y e???? ?,XY? ?,XY。 )X Y N ? ? ? ? ?211~ ( , )XN ?? ，222~ ( , ) .YN ???例 證明：當 有 ? 證 根據(jù)邊緣密度函數(shù)定義得到的密度函數(shù)為 ? 令 ，則上式可化為 ? ? ? ?221 2 1 2, ~ , 。1 ( , )xy?（ ） 的 特 征12xy????? ??呈 鐘 形 ， 軸 對 稱 圖 形 ， 關(guān) 于 軸 對 稱 ；（ 2 ） 邊 緣 分 布221 2 1 2( , ) ~ ( , 。 , 。 , 。{ ( , ) } ( , ) d d .GP X Y G f x y x y?? ??( 3 ) , ( , )G x O y X Y G設(shè) 是 平 面 上 的 一 個 區(qū) 域 點 落 在 內(nèi) 的 概 率 為表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于 1. ( , ) d d 1 ,f x y x y??? ? ? ? ???( , ) .z f x y? 表 示 空 間 的 一幾 意 義 ： 個 曲 面何{ ( , ) } ( , ) d dGP X Y G f x y x y?? ??{ ( , ) } , ( , ).P
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