【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 167。 （六）小結(jié) 描述變量的平均值的量 — 數(shù)學(xué)期望 離散型 —— 若 X ～ ? ?kkP X x p?? 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對收斂） 連續(xù)型 —— 若 X ～密度函數(shù) ()fx ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對收斂） 數(shù)學(xué)期望 ()EX描述隨機(jī)變量 X 取值的平 均大小，要掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，會計(jì)算數(shù)學(xué)期望，掌握幾種常用分布的數(shù)學(xué)期望。 （五） 一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 計(jì)算可得一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ? 2． 二項(xiàng)分布 ( , ) ( )X b n p E X np?則 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 3． 泊松分布 ~ ( )X ?? ，則 ()EX?? 計(jì)算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?＝ 4． 均勻分布 X～ U[ ,ab]，則 ()2abEX ?? 5． 指數(shù)分布 X服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 ()EX?? 。 例 12 設(shè)一電路中電流 I（ A）與電阻 R（Ω）是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為：? ? ? ? ????? ?????? ???,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，試求電壓 V=IR 的均值。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以 X表示停車的次數(shù)，求 E（ X）（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。 證 ：證 3和 4， 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 f(x,y)，其邊緣概率密度為 fX(x),fY(y)， E(X+Y)= ? ?? ?? ? ??? ?????? ?????? ??? ??? dx dyyxyfdx dyyxxfdx dyyxfyx ),(),(),()( =E（ X） +E（ Y）， 3得證。 2 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，則有 ( ) ( )E CX CE X? 3 設(shè) X 、 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。為使商店所獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大，問商店應(yīng)進(jìn)多少貨 ? 解： 以 s（公斤）表示進(jìn)貨數(shù)，易知應(yīng)取 21 sss ?? ，進(jìn)貨 s 所得的利潤記為 ? ?Xax ，則 ? ?Xax 是隨機(jī)變量，且有 ? ? ? ???? ??????? ., ,21 sXssb sXslXsbXXa x X的 概率密度為 ? ?????? ????.,0,1 2112其它sssssxf ， ? ?? ? ? ?? ?? ? ?????? ss sss dxsssbdxsslxsbxXaE 1 2 1212 11 ? ? ? ?1221212 22ssslbsbslsslb??????? ??????? 由于 ? ?? ?XaEdsds= ? ?? ?? ?1221 ssbslsslb ?????? ，令 ? ?? ?XaEdsd s =0，得 ? ?? ?lbbslss ??? 21 ，即當(dāng) ? ?? ?lbbslss ??? 21 （公斤）時(shí)獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大。 解 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????? ????1010 31,XYE dx dyyxxydx dyyxx y f 例 7 按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出一公斤獲利潤 b元。給出如下結(jié)論： 設(shè) Z是二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的函數(shù) ( , )Z g X Y? ,其中 g 是二元連續(xù)函數(shù)， （ 1）設(shè) ( , )XY 是離散型，其分布律為 ,{}i i ijP X x Y y p? ? ?， ,ij＝ 1， 2， 3，?， 則當(dāng)級數(shù)11 ( , )i i ijijg x y p??????絕對收斂時(shí)，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y??11 ( , )i i ijijg x y p?????? （ 3） 設(shè) ( , )XY 是連續(xù)型，密度函數(shù)為 ( , )f xy ，則當(dāng)積分 ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 絕對收斂時(shí)，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y?? ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 例 5 設(shè)風(fēng)速 V在（ 0， a）上服從均勻分布，即具有概率密度????? ???.,0,av01)(其它，avf 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： 2kVW? （ V是風(fēng)速， k0 是常數(shù)），求 W的數(shù)學(xué)期望。)]([ dxxfxgdxxfxgdyyhyhyf x?? 綜合上兩式，（ ）得證。|)]([)( 當(dāng) )(yh? 恒 0 時(shí)， E（ Y） = ?? ???? .)()(|)(39。 5 中的（ ）式知道隨機(jī)變量 Y=g(X)的概率密度為 ??? ??? . ,0 ),(39。 5 中定理的條件。這時(shí)，可以通過下面的定理來求 W的數(shù)學(xué)期望。 例如 p= 即 q= 時(shí)可用賦值法求函數(shù) kqk 1? 的最大值： k 2 3 4 5 6 7 ? ? 可見，當(dāng) k=4 時(shí)，函數(shù) kqk 1? 有最大值 ，說明以 4 個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)?zāi)軠p少 40%的工作量。顯然， p愈小這種方法愈有利。并說明 k取什么值時(shí)最適宜。若顯陽性，則再將對這 k 個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這 k個(gè)人的血總共要化驗(yàn) k+1 次 ,假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)顯陽性的概率為 p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。（ 1）將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需驗(yàn) N次。 分析 ： 第一 車 8:30 到站 10 分鐘 ,第一 車 8:50 到站 30分鐘 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 設(shè)旅客候車的時(shí)間為 X(以分記 )，則 X 的的可取值為 50、 70、 90. 且 P{X=10}=P“第一班車 8： 30 到站” =63. P{X=30}= P“ 第一班車 8： 50到站” =62. P{X=50}= P“第一班車 8： 10到站，且第二班車 9： 10 到站” = 3616161 ?? P{X=70}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 30 到站” = 3636361 ?? P{X=90}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 50 到站” = 3626261 ?? 即 X的分布列為 X 10 30 50 70 90 Pk X的數(shù)學(xué)期望為 所以若旅客 8:20 到站，則他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 (分 )。 例 3 按規(guī)定，某車站每天 8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)間是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。 (2) 因?yàn)?5個(gè)電子裝置并聯(lián)，所以整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m a x XXXXXM ? 的分布函數(shù)為? ? ? ?? ? ? ?????? ? ???? ? .0,0 ,0,1 55m a x x xexFxF x ?，因而 N 的概率密度為 ? ? ? ?????????? ??.0,0,0,1 45m a x xxeexf xx ???，于是 N 的數(shù)學(xué)期望為 ? ? ? ? ???? 601371)( 0 45m a x ???? ?? ?? ?????? dxeexdxxxfNE xx。 分析 :5 個(gè)電子裝置串聯(lián)，整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m in XXXXXN ? ，并聯(lián)，整機(jī)壽命? ?54321 ,m a x XXXXXM ? ，要求 N， M 的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵求 N,M 的密度函數(shù) ).(),( maxmin xfxf 解 : (1) kX