【正文】 （ 2） n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）服從正態(tài)分布的充要條件是 X1,X2,? ,Xn 的任意的線性組合 k1X1+ k2X2 +? +knXn服從一維正態(tài)分布（其中 k1,k2,? ,kn不全為零）。 （ 2）設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的二階混合中心矩 : ijc =Cov(Xi,Xj)=E{[XiE(Xi)][YjE(Yj)]}, i,j=1,2,? ,n 都存在 , 則稱矩陣 C=??????????????nnnnnnccccccccc??????212222111211為（ X1,X2,? ,Xn） 的協(xié)方差矩陣。 （ 3）若 E(XkYl), k,l=1,2?，存在，則稱它為 X 和 Y 的 k+l 階混合矩 。 4 矩、協(xié)方差矩陣 教學(xué)目的： 使學(xué)生理解矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性質(zhì)。但， P{X=2， Y=1}=0≠ P {X=2}P{ Y=1}，知 X， Y不是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性反映 ? 與 ? 之間不存在任何關(guān)系，而不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言的，即使 X與 Y不相關(guān)，它們之間也還是可能存在函數(shù)關(guān)系的。當(dāng) XY? 較大時(shí)，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較好；當(dāng) XY? 較小時(shí)，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較差。 1 定義 稱 { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y??為隨機(jī)變量 X 與 Y 的協(xié)方差。 記住幾種重要分布的方差 （ 1） 0—— 1 分布 ()D X pq? （ 2）二項(xiàng)分布 ()D X npq? （ 3）泊松分布 ()DX?? 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 （ 4）均勻分布 2(()12baDX ?? ） （ 5）指數(shù)分布 2()DX ?? （ 6）正態(tài)分布 2()DX ?? (五 ) 課堂練習(xí)： P140 1 1 19， P141 2 23 課后作業(yè)： P141 1 20， 22 167。 證 ： 就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明。 例 8： 設(shè)活塞的直徑（以 cm計(jì)） 2( 0 , )XN～ ，氣缸的直徑 2( , )NY～ ， X 、 Y 相互獨(dú)立。 解：先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：???? XZ的數(shù)學(xué) 期望和方差。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 :X的概率密度為： ()fx 1 ,0,a x bba? ???? ???? 其 它 而2)( baXE ??，方差為 例 5 設(shè)隨機(jī)變量 X服從指數(shù)分布，其概率密度為 ? ????????? ?.0,0,0,1xxexf x ?? 其中θ 0，求 E（ X）， D（ X） 解 : 于是 即有 ， （二） 方差的幾個(gè)重要性質(zhì)： 10 設(shè) C 是常數(shù)，則 D（ C） =0。 (1p)+12 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有（ 01）分布，其分布 律為： P{X=0}=1p,P{X=1}=p，求 D（ X）。 按此定義，若 X 是離散型隨機(jī)變量，分布律為 ? ? , 1, 2 ,kkP X x p k? ? ?? ,則 21( ) [ ( ) ]kkKD X x E X p????? 若 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 ()fx，則 2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x??????? 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 方差常用下面公式計(jì)算： 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X?? 事實(shí)上 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? ? ?222 ( ) ( )E X X E X E X? ? ? 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X E X E X E X E X E X? ? ? ? ? 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 ()EX?? ，方差 2()DX ?? 0? ， 記 xX ??? ??，則 ( ) 0 , ( ) 1E X D X???? 解 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E X????? ? ? ? ? ?。 （一） 方差的概念 定義 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，若 ? ?2[ ( )]E X E X? 存在，則稱 ? ?2[ ( )]E X E X? 為 X 的方差，記為 ()DX或 ()Var X 。但在一些實(shí)際問題中，僅知道平均值是不夠的，因?yàn)樗泻艽蟮木窒扌裕€不能夠完全反映問題的實(shí)質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ： 方差的性質(zhì)、具體分布的方差的計(jì)算 。 (七 ) 課堂練習(xí) P139 1 15。 解 E（ V） =E（ IR） =E（ I） E（ R） = ???????????? ?? ?????? drrrhdiiig )()( = 2332 30310 2 ????????????? ?? drrdii。 又若 X,Y 相互獨(dú)立， E（ XY） =? ???? ??? dxdyyxxyf ),( =? ???? ??? dx dyyfxxyf YX )()( = )()()()( YEXEdyyyfdxxxf YX ????????????? ?? ?????? ， 4 得證 例 11 一民航送客車載有 20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有 10 個(gè)車站可以下車。 （四） 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 現(xiàn)在來證明數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)（以下設(shè) 所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在） 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 1 設(shè) C 是常數(shù)，則有 ()EC C? 。 解 ：由（ ）式有 E（ W） = 222 311)( kadvakvdvvfkv ?? ?????? ?? 例 6 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 ? ? ??? ?????? 其它,0 ,1,100, yxyxyxf ，試求 XY的數(shù)學(xué)期望。|)]([ dxxfxgdyyhyhyf x?? 當(dāng) )(yh? 恒 0 時(shí)， E（ Y） = ? ?? ??? ??????? .)()()()()(39。 由第二章167。 （三） 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知 X的分布，求 Y=g(X) 的數(shù)學(xué)期望 E(Y) 我們經(jīng)常需要求隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如飛機(jī)機(jī)翼受到壓力 W=kV2（ V是風(fēng)速， k0 是常數(shù)）的作用，需要求 W的數(shù)學(xué)期望，這里 W 是隨機(jī)變量 V 的函數(shù)。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 若按第二種方法，以 k個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，記 1p=q，設(shè)組內(nèi)每個(gè)人化驗(yàn)的次數(shù)為 X，則X的可取值為kkk 1,1 ?.由于各人是否顯陰性是相互獨(dú)立的，所以 ： P{kx 1?}= P“ k 個(gè)人的混合血顯陰性” = P“ k個(gè)人的血都顯陰性” = P{kkx 1??}=P（ k個(gè)人的混合血顯陽性） = P（ k 個(gè)人的混合血不陰性） = kq?1 故每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù) X的期 望值為： 當(dāng)時(shí)，在普查中平均每人的化驗(yàn)次數(shù)就小于 1，從而第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。（ 2）按 k個(gè)人一組進(jìn)行分組 .把 k個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如 果這混合血液顯陰性反應(yīng)，就說明 k 個(gè)人的血都顯陰性反應(yīng)，這樣，這 k 個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次。其規(guī)律為 到站時(shí)刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客 8:20 到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。 因?yàn)?5個(gè)電子裝置串聯(lián)，所以整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m in XXXXXN ? 的分布函數(shù)為 ? ? ? ?? ? ??? ??????? ? .0,0 ,0,111 55m in xxexFxF x ?，因而 N的概率密度為 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 ? ? ??? ??? ? .0,0 ,0,