【文章內容簡介】 客在各個車站下車是等可能的并設各旅客是否下車相互獨立）。 解 ： 引入隨機變量???? 站有人下車，在第 站無人下車在第 i1 i,0x i=1,2,?， 10 易知 X=X1+X2+?? +X10，現(xiàn)在來求 E（ X） 按題意，任一旅客在第 i站不下車的概率為 109 ，因此 20位旅客都不在第 i站下車的概率為 20109??????，遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 在第 i站有人下車的概率為 1— 20109??????，也就是 P{X=0}= 20109??????， P{Xi=1}=1— 20109??????,i=1,2,?， 10 由此， E（ Xi） =1— 20109??????,i=1,2,?， 10 進而 E（ X） = E（ X1+X2+?? +X10） =E（ X1） +E（ X2） +?? +E（ X10） =10 [1— 20109??????]=（次） 本題是將 X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求數(shù)學期望的，這種處理方法具有一定的普遍意義。 例 12 設一電路中電流 I（ A）與電阻 R（Ω）是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為：? ? ? ? ????? ?????? ???,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，試求電壓 V=IR 的均值。 解 E（ V） =E（ IR） =E（ I） E（ R） = ???????????? ?? ?????? drrrhdiiig )()( = 2332 30310 2 ????????????? ?? drrdii。 （五） 一些常用分布的數(shù)學期望 計算可得一些常用分布的數(shù)學期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ? 2． 二項分布 ( , ) ( )X b n p E X np?則 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 3． 泊松分布 ~ ( )X ?? ，則 ()EX?? 計算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?＝ 4． 均勻分布 X～ U[ ,ab]，則 ()2abEX ?? 5． 指數(shù)分布 X服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 ()EX?? 。計算如下： 0000001( ) ( )()| ( ) |xxxx x xE X x f x dx x e dxxx e d x dex e e dx e???? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? 6． 正態(tài)分布 X～ 2( , ), ( )N E X? ? ??則 這里計算了一些，沒計算的由學生自己計算。 （六）小結 描述變量的平均值的量 — 數(shù)學期望 離散型 —— 若 X ～ ? ?kkP X x p?? 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對收斂） 連續(xù)型 —— 若 X ～密度函數(shù) ()fx ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對收斂） 數(shù)學期望 ()EX描述隨機變量 X 取值的平 均大小，要掌握數(shù)學期望的性質，會計算數(shù)學期望，掌握幾種常用分布的數(shù)學期望。 (七 ) 課堂練習 P139 1 15。 布置作業(yè) P138 3， 10 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 167。 2 方差 教學目的： 使學生理解掌握隨機變量的方差概念及性質，會計算具體分布的方差，熟記常見分布的方差 。 使學生理解掌握方差的性質，能熟練計算具體分布的方差，進一步熟記常見分布的方差。 教學重點、難點 ： 方差的性質、具體分布的方差的計算 。隨機變量的方差概念及性質、具體分布的方差的計算。 教學過程： 上節(jié)課，我們研究了隨即變量的重要 數(shù)字特征 —— 數(shù)學期望。它描述了隨機變量一切可能取值的平均水平。但在一些實際問題中，僅知道平均值是不夠的，因為它有很大的局限性，還不能夠完全反映問題的實質。例如，某廠生產兩類手表，甲類手表日走時誤差均勻分布在 10~10 秒之間；乙類手表日走時誤差均勻分布在 20~20 秒之間，易知其數(shù)學期望均為 0，即兩類手表的日走時誤差平均來說都是 0。所以由此并不能比較出哪類手表走得好，但我們從直覺上易得出甲類手表比乙類手表走得較準，這是由于甲的日走時誤差與其平均值偏離度較小，質量穩(wěn)定。由此可見，我們有必要研究隨機變量取值與其 數(shù)學期望值的偏離程度 —— 即方差。 （一） 方差的概念 定義 設 X 是一個隨機變量，若 ? ?2[ ( )]E X E X? 存在，則稱 ? ?2[ ( )]E X E X? 為 X 的方差，記為 ()DX或 ()Var X 。即 ()DX ? ()Var X ? ? ?2[ ( )]E X E X? 。并稱 ()DX 為 X 的 標準差或均方差 。隨機變量 X 的方差表達了 X 的取值與其均值的偏離程度。 按此定義，若 X 是離散型隨機變量，分布律為 ? ? , 1, 2 ,kkP X x p k? ? ?? ,則 21( ) [ ( ) ]kkKD X x E X p????? 若 X 是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為 ()fx，則 2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x??????? 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 方差常用下面公式計算： 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X?? 事實上 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? ? ?222 ( ) ( )E X X E X E X? ? ? 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X E X E X E X E X E X? ? ? ? ? 例 1 設隨機變量 X 具有數(shù)學期望 ()EX?? ，方差 2()DX ?? 0? ， 記 xX ??? ??，則 ( ) 0 , ( ) 1E X D X???? 解 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E X????? ? ? ? ? ?。 2 2 22222( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ]1 [ ( ) ] 1XD X E X E X EEX??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?） 稱 X? 為 X 的標準化變量。 注意：這里 X 不一定是正態(tài)隨機變量。對正態(tài)隨機變量，結論也成立。 例 2 設隨機變量 X 具有（ 01）分布，其分布 律為： P{X=0}=1p,P{X=1}=p，求 D（ X）。 解 :E（ X） =0 (1P） +1 p=p ， E（ X2） =02 (1p)+12 p=p D（ X） =E（ X2） [E（ X） ]2=pp2=p(1p) 例 3 設 X~π (λ )，求 D（ X）。 解 : X的分布律為： ， k=1,2,?，λ 0. 上 節(jié)例 6 已算得 E（ X） =λ，而 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(x1)]+E(X)= = 所以方差： D（ X） =E（ X） [E（ X） ]2=λ 由此可知，泊松分布的數(shù)學期望與方差相等，都等于參數(shù)λ，因為泊松分布只含一個參數(shù)λ，只要知道它的數(shù)學期望或方差就能完全確定它的分布了。 例 4 設 X~U（ a,b），求 D（ X）。 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 解 :X的概率密度為： ()fx 1 ,0,a x bba? ???? ???? 其 它 而2)(