【文章內(nèi)容簡介】 XP廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 則稱 ? ??? XX *設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 ，方差 。 ??EX 02 ?? ?DX為 X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。 顯然，有 )(* ? ??? XEEX )(1 ?? ?? XE 0?)(* ? ??? XDDX )(1 2 ?? ?? XD 1?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 ，求 EX及 DX。 ),( pnB廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布 ,Y服從參數(shù)為 的泊松分布 ,且 X與 Y相互獨(dú)立 ,則 ,1 0 0 ?? pn3?? ?? )32( YXD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回0)42( 2 ??? XXE?? }0{ XP例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布，已知 則 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)2,1(~ ?UX?????????????????13121010001XXXXXY42,YY例 4 設(shè) ，記 ，求 Y及 的期望與方差。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 ，方差 。 ??EX 2??DX則對任意正數(shù) ，有 ????? 2}|{| ???XP???? 21}|{| ????XP或 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 假設(shè)一批種子的良種率為 1/6，從中任意選出 600粒，試用切比曉夫不等式估計(jì)：這 600粒種子中良種所占比例與 1/6之差的絕對值不超過 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回167。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回協(xié)方差的定義 的數(shù)字特征。 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 ).,( YXC o v記為 即 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??))(( EYYEXX ??稱函數(shù) 對給定的二維隨機(jī)變量 ， ),( YX對于二維隨機(jī)變量度 ， 我們不僅關(guān)心隨機(jī)變量 X和 Y ),( YX也關(guān)心反應(yīng)隨機(jī)變量 X與 Y之間關(guān)系的數(shù)字特征。 反應(yīng)隨機(jī)變量之間關(guān)系的數(shù)字特征主要有 協(xié)方差 和 相關(guān)系數(shù)。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??（ 1）離散型 ? ? ??? i j ijji pEYyEXx ))((（ 2）連續(xù)型 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??? ????? ???? ??? d x d yyxfEYyEXx ),())((協(xié)方差的計(jì)算 協(xié)方差的定義 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 ).,( YXC o v記為 即 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??))(( EYYEXX ??稱函數(shù) 對給定的二維隨機(jī)變量 ， ),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??),(),( XYC o vYXC o v ?),( XXC o vDX ? ),( YYC o vDY ?協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） )()()(),( YEXEXYEYXC o v ???),(2)( 22 YXa b C o vDYbDXabYaXD ????（ 4） （ 8） ),(),( YXa b C o vbYaXC o v ?),(),(),( 2121 YXC o vYXC o vYXXC o v ???（ 5） （ 6） ??? ),( 2121 dYcYbXaXC o v),(),(),( 221221 YXb d C o vYXb c C o vYXa d C o v ???),( 11 YXac C ov),( dYcXbYaXC o v ??b d D YYXC o vbcada c D X ???? ),()(（ 7） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回相關(guān)系數(shù)的定義 DYDXYXC o vXY ??),(?隨機(jī)變量 的相關(guān)系數(shù) 定義為 YX, XY?,? .XYr或記為 標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差 DYDXYXC ov??),(?DYDXEYYEXXE???? )])([()])([( DYEYYDX EXXE ???廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回相關(guān)系數(shù)的意義 考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 bYa?又 })]({[ 2bXaYEe ???)(2)(2)(2)()( 2222 YaEXa b EXYbEaXEbYE ??????均方誤差 下面，我們來求 Y的最佳線性近似。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回})]({[ 2bXaYEe ???)(2)(2)(2)()( 2222 YaEXa b EXYbEaXEbYE ??????ae?? )(2)(22 YEXbEa ???be?? )(2)(2)(2 2 XaEXYEXbE ???0?0????????解得 )( ),()()(0 XD YXC o vXEYEa ?? )( ),(0 XD YXC o vb ?從而 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 相關(guān)系數(shù) 為表征隨機(jī)變量 X與 Y之間線性關(guān)系緊密程度的量。 ?越大，表示 X與 Y的線性相關(guān)程度越好。 ||?相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回不相關(guān) 若 ，則稱隨機(jī)變量 X與 Y不相關(guān) 。 0?XY??),( YXC o v )])([( EYYEXXE ?? DYDX YXC o vXY ?? ),(?（ 1）若 ，則 X與 Y不相關(guān)。 0),( ?YXCo v（ 2）若隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，則 X與 Y不相關(guān)。 注： 獨(dú)立一定不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨(dú)立。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)（ X,Y）的聯(lián)合分布律為 XY 2? 1? 1 2140 4/1 4/1 04/1 4/14/1 4/1 4/1 4/1002/12/11}{ iXP ?}{ jYP ?（ 1）求 X與 Y的相關(guān)系數(shù)； （ 2）討論 X與 Y的獨(dú)立性。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ?xyOxy?1解 ? ?????????? d x d yyxxfEX ),(? ? ?? 10 0 ]8[ x dxx yd yx54?? ????? ????? dxdyyxyfEY ),(? ? ?? 10 1 ]8[ y dyx y d xy 158??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回xyOxy?122 )( EXEXDX ?? ? ? ?? 10 02 ]8[ x