【正文】 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),(~),2(~ 22 ???? NYNX例 6 設(shè)隨機(jī)變量 且相互獨立， 寫出隨機(jī)變 X+Y與 XY的分布并求其相關(guān)系數(shù)。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有 3件合格品和 3件次品，乙箱中僅裝有 3件合格品。試求 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回))21(,0( 2N|| YX ? ?? || YXE|| YX ? ?? |)(| YXD例 2（ 96）設(shè) X,Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，則 （ 1）隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 （ 2）（ 98） 的方差 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 3 投籃測試規(guī)則為每人最多投三次，投中為止，且第 i 次投中得分為 分 ，若三次均未投中則不得分，假 設(shè)某人投籃測試中投籃的平均次數(shù)為 。 0?XY?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回27 設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度 ),( YX??? ????其它,010,||,1),( xxyyxf求 ).,(),(),( YXC o vYEXXE廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回28 設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度 ),( YX????? ??????其它,020,20),(81),( yxyxyxf求 ).(,),(),(),( YXDYXC o vYEXE XY ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)(, 21 mnXXX mn ??????niiXY1????nkkmXZ1補(bǔ)例 1 設(shè) 與 的相關(guān)系數(shù)。求 EY， DY。 10 ?? p廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回20 設(shè)長方形的高（以 m計） ，已知長方形的周長（以m計）為 20，求長方形面積 A的數(shù)學(xué)期望和方差。 XY 2? XeY 2??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回13 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度分別為 21, XX?????? ?0,00,2)( 21 xxexf x?????? ?0,00,4)( 42 xxexf x（ 1）求 ； )32(),( 22121 XXEXXE ??（ 2）又設(shè) 相互獨立，求 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回5 設(shè)在一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時間 X（以分計）是一個隨機(jī)變量，其概率密度為 ????????????????其它,03 0 0 01 5 0 0),3 0 0 0(1 5 0 011 5 0 00,1 5 0 01)(22xxxxxf求 EX。將球逐個獨立地，隨機(jī)地放入 4個盒子中去。 0?XY?注： 獨立一定不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨立。 0?DX 1}{ ?? CXPDXabaXD 2)( ??性質(zhì) 3 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差的定義 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 DX二、方差 .)]([)()( 22 XEXEXD ?? 一個重要公式 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。 CEC ?性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( XCECXE ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEYXE ???性質(zhì) 4 設(shè) X,Y為兩個隨機(jī)變量， a,b為常數(shù)，則有 )()()( YbEXaEbYaXE ???性質(zhì) 5 設(shè) X,Y為兩個 相互獨立 的隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEXYE ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 設(shè) X為隨機(jī)變量，若 ])[( 2EXXE ?存在，稱 為隨機(jī)變量 X的 方差 。 求隨機(jī)變量 Z的數(shù)學(xué)期望。 求隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望。記為 。 )(XE即 ????1)(iii pxXE數(shù)學(xué)期望簡稱為 期望 ，又稱為 均值 。 ),( 21 nXXX ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 第四章總結(jié) 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 主要內(nèi)容 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則稱級數(shù) 的和為隨機(jī)變 ???1iii px若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px量 X的 數(shù)學(xué)期望 。 若 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回二、協(xié)方差矩陣 設(shè) 為 n維隨機(jī)變量。 )( lkYXE ?,2,1, ?lk存在，則稱它為 X和 Y的 k+l 階 混合矩 。 4 矩、協(xié)方差矩陣 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回一、矩 設(shè) X和 Y為隨機(jī)變量，若 )( kXE ?,2,1?k存在，則稱它為 X的 k階 原點矩 ，簡稱為 k階矩。158?EY例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回xyOxy?1)35( YXD ?)3,5(2)3()5( YXC o vYDXD ????),(30)(9)(25 YXC o vYDXD ???22 543022 511975225 ??????7543?,752?DX 。2 2 511?DY,54?EX 。158?EY例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)（ X,Y）的聯(lián)合分布律為 XY 2? 1? 1 2140 4/1 4/1 04/1 4/14/1 4/1 4/1 4/1002/12/11}{ iXP ?}{ jYP ?（ 1）求 X與 Y的相關(guān)系數(shù)； （ 2）討論 X與 Y的獨立性。 0),( ?YXCo v（ 2）若隨機(jī)變量 X與 Y相互獨立，則 X與 Y不相關(guān)。 ||?相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回不相關(guān) 若 ，則稱隨機(jī)變量 X與 Y不相關(guān) 。 相關(guān)系數(shù) 為表征隨機(jī)變量 X與 Y之間線性關(guān)系緊密程度的量。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回})]({[ 2bXaYEe ???)(2)(2)(2)()( 2222 YaEXa b EXYbEaXEbYE ??????ae?? )(2)(22 YEXbEa ???be?? )(2)(2)(2 2 XaEXYEXbE ???0?0????????解得 )( ),()()(0 XD YXC o vXEYEa ?? )( ),(0 XD YXC o vb ?從而 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 bXa?即 e 刻劃了 與 Y 的近似程度。 ).,( YXC o v記為 即 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??))(( EYYEXX ??稱函數(shù) 對給定的二維隨機(jī)變量 ， ),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??),(),( XYC o vYXC o v ?),( XXC o vDX ? ),( YYC o vDY ?協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） )()()(),( YEXEXYEYXC o v ???),(2)( 22 YXa b C o vDYbDXabYaXD ????（ 4） （ 8） ),(),( YXa b C o vbYaXC o v ?),(),(),( 2121 YXC o vYXC o vYXXC o v ???（ 5）