【正文】 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回第四章 隨機變量的數(shù)字特征 167。 1 數(shù)學(xué)期望 167。 2 方差 167。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 167。 4 矩、協(xié)方差矩陣 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 前面我們討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)能完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一些實際問題中，我們不需要去全面考察隨機變量的變化情況，而只需要知道隨機變量的某些特征就行了。 例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量就行了。 又如在比較兩個班的考試成績時，一般考慮的是兩個班的平均成績。 再比如檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度。平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 從上述例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的特征。 本章我們介紹隨機變量常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回167。 1 數(shù)學(xué)期望 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回引例： 試問哪個射手技術(shù)較好 ? 甲乙兩射手進行打靶練習(xí)，各發(fā) 100箭，他們打中的環(huán)數(shù)及次數(shù)如下： X甲 8 9 10 頻數(shù) Nk 30 60 10 X乙 8 9 10 頻數(shù) Nk 35 35 30 甲的平均環(huán)數(shù) 1001010609308__ ??????甲X 10 0101010 060910 0308 ?????? ?1003010359358__ ??????乙X 10 0301010 035910 0358 ?????? ?nNx kkk???31環(huán)數(shù)為 的頻率 kx概率代替頻率 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則稱級數(shù) 的和為隨機變 ???1iii px若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px量 X的 數(shù)學(xué)期望 。記為 。 )(XE即 ????1)(iii pxXE數(shù)學(xué)期望簡稱為 期望 ，又稱為 均值 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的分布律為 3101PX ?求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 3 設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學(xué)期望。 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 3 設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學(xué)期望。 ?解： ，則、的一切可能值為泊松分布隨機變量 ?210X???????????????????????1110)!1(!)(kkkkkkkeekkkXkPEX ＝.??EX因此，?,2,1,0!}{ ??? ? kkekXP k ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 按規(guī)定，某車站每天 8:00~9:00， 9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時間是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為 一旅客 8:20到車站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望。 62636150:950:830:930:810:910:8概率時刻到站廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 5 設(shè)要在某地區(qū)進行癌癥普查，為此要檢查每個人的血液。由于參加普查的人數(shù)很多，若按傳統(tǒng)辦法一個個地檢查，非常耗時，希望尋求快捷方法。于是有這樣的想法：將若干個人 (如 k個人 )的血液混合后再檢查，若結(jié)果沒有問題，就說明這 k個人全沒問題；若有問題，就將這 k個人逐一檢查，以確定是誰出了問題。直觀想象，由于癌癥發(fā)病率較低，在 k不大時，多數(shù)情況下 k個人只需驗一次血就夠了，所以平均說來，用這種方法進行驗血大大降低了驗血的工作量。試對這一想法作具體分析。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒收 1元本金 .試問這樣的游戲規(guī)則對下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒收 1元本金 .試問這樣的游戲規(guī)則對下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 解： 設(shè) X為一次下注的贏利 ,于是得 X的分布律為 216/1216/15216/75216/1253211PX ?2 1 6172 1 6132 1 61522 1 6752 1 61 2 5)1(????????? ＋＋于是 EX大致地可說：每平均玩 216次，下注者必將輸 17元。 故這一游戲規(guī)則對下注者來說是不公平的。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 7（二項分布的數(shù)學(xué)期望） .)。(~ EXpnBX ，試求設(shè)廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 7（二項分布的數(shù)學(xué)期望） .)。(~ EXpnBX ，試求設(shè)解： 個，則共有、的一切可能值為因 110 ?nnX ?npqpnpqpknknnpqpknknqpknknkqpknkEXnnkknknkknknkknknkknk?????????????????????????????????111111)()!()!1()!1()!()!1(!)!(!!廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)為 , )(xf絕對收斂， ? ???? dxxxf )(期望 。記為 。 )(XE即 若積分 則稱積分 的值為隨機變量 X的 數(shù)學(xué) ? ???? dxxxf )(? ????? dxxxfEX )(廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回解 ?? ?????1001 d)1(d)1()( xxxxxxXE ,0?例 1 設(shè)隨機變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)隨機變量 X服從 上的均勻分布，求 EX。 ),( ba廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 3 某批電子元件的壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求此批電子元件的平均壽命。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機變量 ，求 EX。 ),(~ 2??NX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知隨機變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 求隨機變量 Y的數(shù)學(xué)期望。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px 則有 )]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對 收斂，則有 ? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知隨機變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 求隨機變量 Y的數(shù)學(xué)期望。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px 則有 （ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對 收斂，則有 ????1)(iii pxXE? ????? dxxxfXE )()()]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 )1( 2 ?XE廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)風(fēng)速 V在 上服從均勻分布，即具有概率密