【正文】 機(jī)變量 X的密度為 , )(xf 則有 ? ????? dxxfxgXgE )()()]([])[( 2EXXEDX ?? ? ???? ?? dxxfEXx )()( 2廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回.)]([)()( 22 XEXEXD ??證明 })]([)(2{ 22 XEXXEXE ???22 )]([)()(2)( XEXEXEXE ???22 )]([)( XEXE ??一個(gè)重要公式 ])[( 2EXXEDX ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X 的方差。 ),( ba廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 5 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求 DX。 ),(~ 2??NX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回? 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 7 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 DX。 0)( ?CD性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( 2 XDCCXD ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 )])([(2)()()( 22 EYYEXXa b EYDbXDabYaXD ??????特別地，若 X與 Y相互獨(dú)立，則有 )()()( 22 YDbXDabYaXD ???性質(zhì) 4 當(dāng)且僅當(dāng) 。 ??EX 02 ?? ?DX為 X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。 ),( pnB廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布 ,Y服從參數(shù)為 的泊松分布 ,且 X與 Y相互獨(dú)立 ,則 ,1 0 0 ?? pn3?? ?? )32( YXD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回0)42( 2 ??? XXE?? }0{ XP例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布，已知 則 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回)2,1(~ ?UX?????????????????13121010001XXXXXY42,YY例 4 設(shè) ，記 ，求 Y及 的期望與方差。 ??EX 2??DX則對(duì)任意正數(shù) ，有 ????? 2}|{| ???XP???? 21}|{| ????XP或 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 假設(shè)一批種子的良種率為 1/6，從中任意選出 600粒，試用切比曉夫不等式估計(jì)：這 600粒種子中良種所占比例與 1/6之差的絕對(duì)值不超過(guò) 。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回協(xié)方差的定義 的數(shù)字特征。 ).,( YXC o v記為 即 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??))(( EYYEXX ??稱函數(shù) 對(duì)給定的二維隨機(jī)變量 ， ),( YX對(duì)于二維隨機(jī)變量度 ， 我們不僅關(guān)心隨機(jī)變量 X和 Y ),( YX也關(guān)心反應(yīng)隨機(jī)變量 X與 Y之間關(guān)系的數(shù)字特征。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??（ 1）離散型 ? ? ??? i j ijji pEYyEXx ))((（ 2）連續(xù)型 ?),( YXC o v )])([( EYYEXXE ??? ????? ???? ??? d x d yyxfEYyEXx ),())((協(xié)方差的計(jì)算 協(xié)方差的定義 的數(shù)學(xué)期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bYa?又 })]({[ 2bXaYEe ???)(2)(2)(2)()( 2222 YaEXa b EXYbEaXEbYE ??????均方誤差 下面，我們來(lái)求 Y的最佳線性近似。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 bXa?記 })]({[ 2bXaYEe ???顯然， 若 e 越小，表示 與 Y的近似程度越好。 bYa?均方誤差 })]({[m i n 2, bXaYEba ?? })]({[ 200 XbaYE ??? )()1( 2 YD???相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） 1|| ??（ 2） 1|| ?? 1}{ ??? bXaYP當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) a, b，使得 。 ?越大，表示 X與 Y的線性相關(guān)程度越好。 0?XY??),( YXC o v )])([( EYYEXXE ?? DYDX YXC o vXY ?? ),(?（ 1）若 ，則 X與 Y不相關(guān)。 注： 獨(dú)立一定不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨(dú)立。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ?xyOxy?1解 ? ?????????? d x d yyxxfEX ),(? ? ?? 10 0 ]8[ x dxx yd yx54?? ????? ????? dxdyyxyfEY ),(? ? ?? 10 1 ]8[ y dyx y d xy 158??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回xyOxy?122 )( EXEXDX ?? ? ? ?? 10 02 ]8[ x dxyd yx 2)54(?251632 ??752?22 )( EYEYDY ?? ? ? ?? 10 02 ]8[ x dxx yd yy 2)158(?2 2 56431 ??22511?,54?EX 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回xyOxy?1),( YXCo v EYEXE X Y ???? ? ?? 10 0 ]8[ x dxx yd yxy 15854??753294 ??2254?DYDXYXC ov??),(?225/1175/2225/4?? 33662? ?,752?DX 。158?EY例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為 ),( YX??? ?????其它010,08),( xxyxyyxf試求數(shù)學(xué)期望 ，方差 ，協(xié)方差 ，相關(guān) EYEX ,系數(shù) ,并求 。2 2 511?DY,54?EX 。 DYDX , ),( YXC o v)35( YXD ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回),(~),( 222121 ?????NYX設(shè)二維正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù) : ])())((2)[()1(2 122122222112112121),( ? ?? ?? ??? ????????????????yyxxeyxf))((),( EYYEXXEYXC o v ???? ????? ???? ??? dxdyyxfyx ),())(( 21 ??21????從而相關(guān)系數(shù) 于是 ?? ??? DYDX YXC ovXY ),(其聯(lián)合密度函數(shù)為 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回則 相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng) YX, .0??),(~),( 222121 ?????NYX若于是，我們有 ),(~),( 222121 ?????NYX若則 相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng) 不相關(guān)． YX, YX,獨(dú)立一定不相關(guān) ,不相關(guān)不一定獨(dú)立 . 通過(guò)以上討論 , 我們得到如下結(jié)論 : 但如果 服從 二維正態(tài)分布 , ),( YX則 相互獨(dú)立與 不相關(guān)等價(jià)． YX, YX,廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回2,0 22 ???? EYEXEYEX?? 2)( YXE例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y的相關(guān)系數(shù)為 ，且 則 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回補(bǔ)充例題 例 4 已知隨機(jī)變量 與 的方差和協(xié)方差分別為 試求 與 的方差與協(xié)方差 . YX 2? YX 32 ?YX ?3 YX 32 ?,44)32,3( ???? YXYXC o v ,22)32(,121)3( ???? YXDYXD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 5 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布 ,設(shè) ? ]2,0[ ? ,cos?? ? ,sin?