【正文】 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 3 設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學期望。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的分布律為 3101PX ?求 EX。記為 。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回167。 從上述例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的特征。 再比如檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度。 例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量就行了。 4 矩、協(xié)方差矩陣 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回 前面我們討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)能完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。 2 方差 167。廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回第四章 隨機變量的數(shù)字特征 167。 1 數(shù)學期望 167。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 167。但在一些實際問題中，我們不需要去全面考察隨機變量的變化情況，而只需要知道隨機變量的某些特征就行了。 又如在比較兩個班的考試成績時，一般考慮的是兩個班的平均成績。平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 本章我們介紹隨機變量常用的數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩。 1 數(shù)學期望 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回引例： 試問哪個射手技術(shù)較好 ? 甲乙兩射手進行打靶練習，各發(fā) 100箭，他們打中的環(huán)數(shù)及次數(shù)如下： X甲 8 9 10 頻數(shù) Nk 30 60 10 X乙 8 9 10 頻數(shù) Nk 35 35 30 甲的平均環(huán)數(shù) 1001010609308__ ??????甲X 10 0101010 060910 0308 ?????? ?1003010359358__ ??????乙X 10 0301010 035910 0358 ?????? ?nNx kkk???31環(huán)數(shù)為 的頻率 kx概率代替頻率 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回離散型隨機變量的數(shù)學期望 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則稱級數(shù) 的和為隨機變 ???1iii px若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px量 X的 數(shù)學期望 。 )(XE即 ????1)(iii pxXE數(shù)學期望簡稱為 期望 ，又稱為 均值 。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 EX。 ?廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 3 設(shè)隨機變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學期望。其規(guī)律為 一旅客 8:20到車站，求他候車時間的數(shù)學期望。由于參加普查的人數(shù)很多，若按傳統(tǒng)辦法一個個地檢查，非常耗時，希望尋求快捷方法。直觀想象，由于癌癥發(fā)病率較低，在 k不大時，多數(shù)情況下 k個人只需驗一次血就夠了，所以平均說來，用這種方法進行驗血大大降低了驗血的工作量。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒收 1元本金 .試問這樣的游戲規(guī)則對下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒收 1元本金 .試問這樣的游戲規(guī)則對下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 解： 設(shè) X為一次下注的贏利 ,于是得 X的分布律為 216/1216/15216/75216/1253211PX ?2 1 6172 1 6132 1 61522 1 6752 1 61 2 5)1(????????? ＋＋于是 EX大致地可說：每平均玩 216次，下注者必將輸 17元。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 7（二項分布的數(shù)學期望） .)。(~ EXpnBX ，試求設(shè)解： 個，則共有、的一切可能值為因 110 ?nnX ?npqpnpqpknknnpqpknknqpknknkqpknkEXnnkknknkknknkknknkknk?????????????????????????????????111111)()!()!1()!1()!()!1(!)!(!!廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)為 , )(xf絕對收斂， ? ???? dxxxf )(期望 。 )(XE即 若積分 則稱積分 的值為隨機變量 X的 數(shù)學 ? ???? dxxxf )(? ????? dxxxfEX )(廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 設(shè)隨機變量 X服從 上的均勻分布，求 EX。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機變量 ，求 EX。 求隨機變量 Y的數(shù)學期望。 求隨機變量 Y的數(shù)學期望。 )1( 2 ?XE廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 設(shè)風速 V在 上服從均勻分布，即具有概率密度函數(shù) 求 EW。 求隨機變量 Z的數(shù)學期望。 求隨機變量 Z的數(shù)學期望。 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 設(shè)隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 ????? ????其它,01,1,23),( 23 xxyxyxyxf求數(shù)學期望 ).1(, XYEEY廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回22 )(),(),(s i n EXXEXEXE ?例 3 設(shè)隨機變量 X服從 (0,π) 上的均勻分布 ,求 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量。再者，他們預測銷售量 Y（件）服從指數(shù)分布，其概率密度為 ???????? ?0,00,1)( /yyeyf yY??問若要獲得利潤的數(shù)學期望最大，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 5 設(shè)隨機落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點的分布是均勻分布。（ 1）求落點到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點到坐標原點距離的平方的數(shù)學期望。 0,40: 2 ???? xxyG點，求（ 1）該點到 y軸距離的分布密度； （ 2）過該點作 y軸的平行線與 y軸 x軸及曲線 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回數(shù)學期望的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。如到達一個車間沒有旅客下車就不停，以 X表示停車的次數(shù)，若每位旅客在各個車站下車是等可能的，并且各旅客是否下車相互獨立，求 EX。 ),( pnB廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回??? ???其它,010,2)( iiig??? ???其它,030,9/)( 2 rrrh例 3 設(shè)一電路是電流 與電阻 是兩上相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 )(AI )(?R試求電壓 的均值。 （ 2）已知隨機變量 X服從參數(shù)為 2的泊松 (Poisson)分布 , Y~N(2,4)， Z=XY，則 EZ= 若 X,Y獨立 ,則 E(XY)= 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回))21(,0( 2N|| YX ? ?? || YXE例 6（ 96）設(shè) X,Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布 的隨機變量，則 （ 1）隨機變量 的數(shù)學期望 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 7 設(shè)隨機落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點的分布是均勻分布。（ 1）求落點到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點到坐標原點距離的平方的數(shù)學期望。 2 方 差 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回定義 設(shè) X為隨機變量，若 ])[( 2EXXE ?存在，稱 為隨機變量 X的 方差 。 DX 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量 X 取值分散程度。 方差的意義 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回方差的計算 （ 1） 離散型 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則有 ])[( 2EXXEDX ?? ?????12)(iii pEXx????1)()]([iii pxgXgE（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨