【正文】 （ 6） ??? ),( 2121 dYcYbXaXC o v),(),(),( 221221 YXb d C o vYXb c C o vYXa d C o v ???),( 11 YXac C ov),( dYcXbYaXC o v ??b d D YYXC o vbcada c D X ???? ),()(（ 7） 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回相關(guān)系數(shù)的定義 DYDXYXC o vXY ??),(?隨機變量 的相關(guān)系數(shù) 定義為 YX, XY?,? .XYr或記為 標準尺度下的協(xié)方差 DYDXYXC ov??),(?DYDXEYYEXXE???? )])([()])([( DYEYYDX EXXE ???廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回相關(guān)系數(shù)的意義 考慮用 X的線性函數(shù) 來近似表示 Y。 反應隨機變量之間關(guān)系的數(shù)字特征主要有 協(xié)方差 和 相關(guān)系數(shù)。 的數(shù)學期望為 X與 Y的 協(xié)方差 。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回167。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回切比雪夫不等式 設(shè)隨機變量 X具有數(shù)學期望 ，方差 。 顯然，有 )(* ? ??? XEEX )(1 ?? ?? XE 0?)(* ? ??? XDDX )(1 2 ?? ?? XD 1?廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機變量 X服從二項分布 ，求 EX及 DX。 0?DX 1}{ ?? CXP廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回隨機變量的標準化 則稱 ? ??? XX *設(shè)隨機變量 X具有數(shù)學期望 ，方差 。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 6 設(shè)隨機變量 ，求 DX。 ?廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機變量 X服從 上的均勻分布，求 DX。 )(XD廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 DX。方差越大，表示隨機變量 X的 取值分散程度越大 , 或者說方差越小 , 表示隨機變量 X的取值越集中。 ])[( 2EXXE ? 記為 DX 或 )(XVar即 ])[( 2EXXEDX ??稱為 隨機變量 X的 標準差 或 方差根 或 均方差 。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回167。以 表示落點的坐標。 IRV ?廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 （ 1）已知隨機變量 X服從參數(shù)為 1/2的指數(shù) 分布， 求 隨機變量 Z=3X2的數(shù)學期望 EZ。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X服從二項分布 ，求 EX。 CEC ?性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機變量， C為常數(shù)，則有 )()( XCECXE ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個隨機變量，則有 )()()( YEXEYXE ???性質(zhì) 4 設(shè) X,Y為兩個隨機變量， a,b為常數(shù)，則有 )()()( YbEXaEbYaXE ???性質(zhì) 5 設(shè) X,Y為兩個 相互獨立 的隨機變量，則有 )()()( YEXEXYE ?廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 2 空港快線載有 20位旅客從白云機場開出，旅客有 10個車站可以下車。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回24 xy ??例 6 向平面區(qū)域 內(nèi)隨機等可能地投擲一 所圍成的曲邊梯形面積的數(shù)學期望。以 表示落點的坐標。他們估計出售生件產(chǎn)品可獲利 m元，而積壓一件產(chǎn)品導致 n元的損失。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 其中 g為 ????1)(iii pxXE????1)()]([iii pxgXgE? ??????1 1),()],([jijjiipyxgYXgE? ????? dxxxfXE )()(? ????? dxxfxgXgE )()()]([? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 1 設(shè)二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布為 求 EX,EY,E(XY)。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 ? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([其中 g為 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 已知二維隨機變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 又設(shè)飛機機翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： ),0( a??? ???其它,00,/1)( avavf),0(2 ?? kkVW廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 已知二維隨機變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px 則有 （ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對 收斂，則有 ????1)(iii pxXE? ????? dxxxfXE )()()]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級數(shù) 絕對收斂， ???1iii px 則有 )]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對 收斂，則有 ? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 已知隨機變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 ),(~ 2??NX廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 已知隨機變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 ),( ba廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 3 某批電子元件的壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求此批電子元件的平均壽命。 廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回解 ?? ?????1001 d)1(d)1()( xxxxxxXE ,0?例 1 設(shè)隨機變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 EX。記為 。(~ EXpnBX ，試求設(shè)廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 7（二項分布的數(shù)學期望） .)。 故這一游戲規(guī)則對下注者來說是不公平的。試對這一想法作具體分析。于是有這樣的想法：將若干個人 (如 k個人 )的血液混合后再檢查，若結(jié)果沒有問題，就說明這 k個人全沒問題；若有問題，就將這 k個人逐一檢查，以確定是誰出了問題。 62636150:950:830:930:810:910:8概率時刻到站廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 5 設(shè)要在某地區(qū)進行癌癥普查，為此要檢查每個人的血液。 ?解： ，則、的一切可能值為泊松分布隨機變量 ?210X???????????????????????1110)!1(!)(kkkkkkkeekkkXkPEX ＝.??EX因此，?,2,1,0!}{ ??? ? kkekXP k ??廣東工業(yè)大學 下頁上頁 返回例 4 按規(guī)定，某車站每天 8:00~9:00， 9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時間是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。