第二章隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征-文庫吧資料
2025-08-02 23:20本頁面
【正文】 證明 充分性： ，也就是，從而故必要性：由切比雪夫不等式，有故從而167。證明 令，利用馬爾可夫不等式即得。 定理1（馬爾可夫不等式）設(shè)X的k階矩存在，即則對(duì)任意的，有證明：僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情形證之。注：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望；X的二階中心矩就是X的方差。性質(zhì)2 是常數(shù)。解 。 解 數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8。2）定義 若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記為稱方差的正平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為或。 為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的離散程度，可用|XEX|的均值來表示，稱為X的絕對(duì)離差，記作E|XEX|，這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。這里光看均值無差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。四、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1）引例 甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，超出范圍的均為廢品。例20 設(shè)隨機(jī)變量，求E(Y).解 ，分布列為 其中p+q=1例21設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為，求 E ( 1 / X )。⑵ 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為,若絕對(duì)收斂，則g(X) 的數(shù)學(xué)期望為 注：該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求E[g(X )]時(shí),不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。解：分段單調(diào)，在中反函數(shù)而在中反函數(shù)為故的密度函數(shù)為即。(a≠0)解 Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為，故 ，而，所以 。注：只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；注意定義域的選擇。解當(dāng)y0時(shí)， ；當(dāng)y≥1時(shí)；當(dāng)0≤y1時(shí)。解 先求Y=3X+5的分布函數(shù)。), Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則Y的分布函數(shù)為。故Y的分布列為Y1517P2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)一般方法 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，(165。解：例13 設(shè)為僅取非負(fù)整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望存在，證明： 證明：由于 而例14 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為且數(shù)學(xué)期望存在，證明證明： 由均值存在得于是有以此代入的計(jì)算式即得二、隨機(jī)變量函數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布列為 , k＝1, 2, …則當(dāng)Y＝g(X)的所有取值為(j＝1, 2, …)時(shí)，隨機(jī)變量Y有如下分布列：, j＝1, 2, …其中是所有滿足的對(duì)應(yīng)的X的概率的和，即例15 設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布列，試求隨機(jī)變量的分布列。設(shè)X服從區(qū)間上的均勻分布，求。此分布稱為Cauchy分布。若不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。但級(jí)數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級(jí)數(shù)(交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂) 要注意數(shù)學(xué)期望的條件：“絕對(duì)收斂”。2）例子例9 設(shè)服從幾何分布，求解：由于故例10 設(shè)X取 (k=1,2,…)對(duì)應(yīng)的概率為，證明E(X)不存在。若級(jí)數(shù)不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1．引例某人參加一個(gè)擲骰子游戲，規(guī)則如下：擲得點(diǎn)數(shù)1點(diǎn)2，3點(diǎn)4，5，6點(diǎn)獲得（元）124求：一次游戲平均得多少錢？解：假設(shè)做了n次游戲。 隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率分布能完整、全面地刻畫隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但是：(1)在實(shí)際應(yīng)用中概率分布常常難以精確地求出；(2)在實(shí)際問題中,有時(shí)關(guān)心的問題僅是隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特征，而不是隨機(jī)變量全面的變化規(guī)律,如測(cè)量誤差的平均誤差,評(píng)定射擊手的穩(wěn)定性的離散度等；(3)對(duì)很多重要分布，只要知道它的某些數(shù)字特征，就可以完全確定其概率分布。(2)X的分布函數(shù)為 （3）。(4) 若在處連續(xù)，則有3．例子例8設(shè)，求:(1)常數(shù)K；(2)X的分布函數(shù)；(3)解 (1)由性質(zhì) 。（１） 非負(fù)性：；（２） 正則性：；反過來，若已知一個(gè)函數(shù) 滿足上述性質(zhì)(1)和(2),則一定是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)．另外，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布，還具有如下性質(zhì)：（1）。解 略。分布列也可用下列形式表示：或
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