隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念-文庫吧資料
2024-08-14 14:25本頁面
【正文】 xp ),( ? ???? ???? xz dxdyyxp ]),([對(duì) z求導(dǎo)，即得 z密度函數(shù) ?????? dxxzxpzp Z ),()( 若 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 則 Z＝ X＋ Y的密度為： ? ??????????－或.),(),()( dxxzxpdyyyzpzp Z 若 X與 Y相互獨(dú)立，則 Z＝ X＋ Y的密度函數(shù)為 .)()()()()( dxxzpxpdyypyzpzp YXYXZ ??? ? ???????或＝ 例 (P133): 設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證： Z=X+Y服從 N(0,2)分布。 一般的方法：分布函數(shù)法 若 (X, Y)~p (x,y), (x,y)?R2, Z=g(X, Y), 則可先求 Z的分布函數(shù) : }),({}{)( zYXgPzZPzF Z ????。)(yyyFyp YY當(dāng) y ≤ 0時(shí) 0)( ?yFY當(dāng) 0y ≤ 1時(shí) ；當(dāng) y1時(shí) 1)( ?yFY 例 2:設(shè) X的概率密度為 pX(x),y=g(x)關(guān)于 x處處可導(dǎo)且是 x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求 Y=g(X)的概率密度。 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一般方法 (p56) 若 X～ p(x), ? x +?, Y=g(X)為隨機(jī)變量 X 的函數(shù)，則可先求 Y的分布函數(shù) FY (y) ＝ P{Yy}＝ P {g(X) y}＝ ?? yxg dxxp)( )(dyydFyp YY)()( ?然后再求 Y的密度函數(shù) 此法也叫“ 分布函數(shù)法” 一、一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 例 X?U(1,1),求 Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。 獨(dú)立性的例子 例：書中（ P122） 例 量是否獨(dú)立？ 例： 設(shè) (X,Y) ～ N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)，則 X與 Y獨(dú)立充要條件為 ?=0。 定義 2： 稱隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立的 ，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其中 F(x,y)是（ X， Y） 的聯(lián)合分布函數(shù)， FX(x)、 FY(y)分別是 X、 Y的分布函數(shù)。 故二維正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布。(2)求關(guān)于 X的邊緣概率密度 例 (X,Y)的概率密度為 (1)二維均勻分布 若二維隨機(jī)變量 (X, Y)的密度函數(shù)為 則稱 (X, Y)在區(qū)域 D上 (內(nèi) ) 服從均勻分布。 ??? ?????其它,00,0,),(~),( )32( yxAeyxpYX yx例 4. 設(shè) 為 (X, Y)關(guān)于 Y的 邊際密度函數(shù)。,(),(2yxPyxyxF ????反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù) P(x, y)， 必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 。 (2)歸一性： ???????－－。 2)求 P{0 ? X2,0 ? Y3} FY(y)＝ F (+?, y)＝ ＝ P{Yy} 稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)關(guān)于 Y的邊際分布函數(shù) . )y,x(Flimy ???)y,x(Flimx ???FX(x)＝ F (x, +?)＝ ＝ P{Xx} 稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)關(guān)于 X的邊 際 分布函數(shù)； 邊際分布函數(shù) ?????????????? ????其它00101),( xyyeeyxxeeyxF yyyx求 FX(x)與 FY(y)。,(),(lim),0( 0000yxFyxFyxFRxRyxx???????，對(duì)任意).,(),(lim)0,( 000yxFyxFyxFyy??? ??(3)左連續(xù) 對(duì)任意 x?R, y0 ?R, (4)矩形不等式 對(duì)于任意 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1)?0. 反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù) F(x, y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)。如圖陰影部分： 對(duì)于 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),則 P{x1 ? X x2， y1 ? y y2 } ＝ F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 分布函數(shù) F(x, y)具有如下性質(zhì) ： 0),(lim),( ????????????yxFFyx1),(lim),( ????????yxFFyx且 0),(lim),( ???????yxFyFx0),(lim),( ???? ??? yxFxF y(1) 歸一性 對(duì)任意 (x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)單調(diào)不減 對(duì)任意 y ?R, 當(dāng) x1x2時(shí)， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 對(duì)任意 x ?R, 當(dāng) y1y2時(shí)， F(x, y1) ? F(x , y2)。 ),( 2??N???? XY推論：若 X～ ， 則 )()()(??????? xxXPxF),( 2??N 例 X~N(1,22), 求 P{X}=? 例 X?N(?,?2),求 P{?3?X?+3?} 本題結(jié)果稱為 3? 原則 .在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為 P{|X ? |≤3} ≈1 ， 忽略 {|X ? |3}的值 . 例 3. 一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ (100,152),某儀器上裝有 3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的 .求：使用的最初 90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率 . 定義： 設(shè) (X, Y)是二維隨機(jī)變量， (x, y)?R2, 則稱 F(x,y)=P{Xx, Yy} 為 (X, Y)的 分布函數(shù) ， 或 X與 Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 .,21)( 22????????xexx??分布函數(shù)表示為 ??????????? ???xdtexXPxxt,}{)(2212?其 密度函數(shù) 表示為 (2)一般的概率統(tǒng)
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