隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念-資料下載頁
2025-08-01 14:25本頁面
【正文】 解： (1) 定義 若 . X， Y的方差和協(xié)方差均存在 , 且 DX0,DY0， 則 DYDX)Y,Xc o v (XY ????稱為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) . 注： 1)若記 DX)X(EXX * ??稱為 X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知 EX*=0， DX*= ).(),c o v ( **** YXEYXXY ??? 2)當(dāng) ?XY =0時(shí)，稱 X與 Y不相關(guān) 。 1) |?XY|?1； 2) |?XY|=1?存在 常數(shù) a, b 使 P{Y= aX+b}=1； 3) X與 Y不相關(guān) ? ?XY =0 ? COV(X, Y)=0 證明：設(shè) (2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 引理： 若 (X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量 ,又 則有 ???? 22 , EYEX222)]([ EYEXXYE ??2222 )(2)()( EYXYEtEXtYtXEtg ???????因?yàn)閷?duì)一切 t,有 ,所以 ,從而二次方程 或者沒有實(shí)根 ,或者只有一個(gè)重根 ,由此知它的判別式非正 ,即有 0)( 2 ?? YtX 0)( ?tg0)]([ 222 ??? EYEXXYE0)( ?tg注： （ 1） 只是隨機(jī)變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè) 度量； （ 2） 當(dāng) ， X與 Y之間存在線性關(guān)系 （ 以概率 1） ； 當(dāng) 較大時(shí) ， 說明 X與 Y線性關(guān)系程度較好； 當(dāng) 較小時(shí) ， 說明 X與 Y線性關(guān)系程度較差； 當(dāng) 時(shí) ， X與 Y不相關(guān) 。 ?1?XY?XY?XY?0?XY?XYXYXYUXXYUX??求）求,),1,1(~2,),1,0(~)122???以上例 5的結(jié)果說明了什么？ 解 :1) 454)(,121)(,41)(,31)(,21)( ????? YDXDXYEYEXE454121121???XY?2) 0)(,0)( ?? XYEXE 0?XY?例 5： 問題 :“ X與 Y獨(dú)立”和“ X與 Y不相關(guān)”有何關(guān)系 ？ .),,(~),( 222121 ??????? ?XYNYX 則設(shè)例 可見，若（ X， Y） 服從二維正態(tài)分布，則 X與Y獨(dú)立的充分必要條件是 X與 Y不相關(guān) 。 例 6( ):設(shè) (X, Y)在 D={(X, Y)： x2+y2?1}上服從均勻分布，求證： X與 Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的 . 1. K階原點(diǎn)矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, … 而 E(|X|k)稱為 X的 K階絕對(duì)原點(diǎn)矩； 2. K階中心矩 Bk=E[XE(X)]k, k=1, 2, … 而 E|XE(X)|k稱為 X的 K階絕對(duì)中心矩； 3. K+l階 混合 原點(diǎn)矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, … ； 4. K+l階 混合 中心矩 E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l}, k, l=0, 1, 2, … ； 四 . 矩 例 1 設(shè) (X,Y)服從 N(1,0,32,42,)分布，Z=X/3+Y/2 1)求 Z的概率密度 2)求 X與 Z的相關(guān)系數(shù) 3)問 X與 Z是否相互獨(dú)立？為什么？ 解： 定義 . 給定 y， 設(shè)對(duì)任意固定的正數(shù) 0，極限 }{},{lim}|{lim00yyYyPyyYyxXPyyYyxXPyy???????????????????存在，則稱此極限為在 Y=y條件下 X的條件分布函數(shù) . 記作 }|{)|(| yYxXPyxF YX ???可證當(dāng) 時(shí) 0)( ?ypy )(),()|(|ypduyupyxFYxYX???? 條件分布與條件期望 一、條件分布 y?}|{)|(| yYxXPyxF YX ???}{},{lim0 yyYyPyyYyxXPy ????????????? ?? ?????????????yyyx yyyyd ud vvupd ud vvup),(),(lim0?? ??????????yyyYx yyyydvvpd ud vvup)(),(lim0若 p(u,v)及 pX(v)是連續(xù)函數(shù)，又 pX(v )0，則有 )|(| yxF YX]/)([lim]/),([lim00ydvvpydudvvupyyy Yyx yyyy????? ???????????)(),(ypduyupYx????若記 為在 Y=y條件下 X的條件概率密度，當(dāng) 時(shí)， )|(| yxp YX0)( ?yp Y)(),()|()|( || ypyxpxyxFyxpYYXYX ????類似定義，當(dāng) 時(shí) 0)( ?xp X)(),()|()|( || xpyxpyxyFxypXXYXY ????例 (X,Y)的概率密度為 ????? ???其它01421),(22 yxyxyxp(1)求條件概率密度 )|(| xyp XY(2)求條件概率 }21|41{ ?? XYPx y 1 解 : 例 2：若（ X， Y） 在圓域 上服從均勻分布，求條件概率密度 122 ?? yx)( yxp YX解： 例 3：設(shè) X在區(qū)間（ 0， 1）上隨機(jī)地取值，當(dāng)觀察到 X=x（ 0x1)時(shí)，數(shù) Y在區(qū)間（ x， 1） 上隨機(jī)地取值，求 Y的密度函數(shù)。 二、條件期望 定義： 如果 X在 Y=y發(fā)生的條件下的條件密度函數(shù)為 ，若 則稱 為 X在 Y=y發(fā)生的條件下的條件數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱條件期望 )|(| yxp YX??? ??? dxyxpx YX )(dxyxxpyYXE YX? ????? )(}{三、條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （ p165） 若 a,b是兩個(gè)常數(shù)，又 CyYCE j ?? }{},{ 1 jyYXE ? }{ 2 jyYXE ?存在，則 }{21 jyYbXaXE ??存在，且 }{ 21 jyYbXaXE ?? }{ 1 jyYXaE ?? }.{ 2 jyYXbE ?? 以上兩條性質(zhì)是在固定 “ Y=yi”的條件下考察條件期望的性質(zhì)。 EXYXEE ?}){(3 、
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