應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征-展示頁
2025-03-15 11:15本頁面
【正文】 12)( 2ab ?E(?) ??? ?? ?其它,0,0,)(xexfx??21?N(?,? 2) 222)(21)( ???????xexf2?2. 方差的性質(zhì) (1) 設(shè) C是常數(shù) ,則 D(C)=0。假設(shè)每臺部件的狀態(tài)是相互獨(dú)立的。 (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y)。1(qqp??p1? 求和與求導(dǎo) 交換次序 等比級數(shù) 求和公式 ???????0,00,)(xxexfx??? ?? ??? 0)( dxexXE x??例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) . ]|[ 00 ? ?? ???? ??? dxexe xx ?? ?? ? 1|1 0 ??? ??? xe例 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 dxexXEx222)(21)( ?????????????dueuuux2221 ???????? ??? ?????）（令??常見分布的數(shù)學(xué)期望 分布 期望 概率分布 01分布 pXPpXP?????1)0()1(p B(n,p) nkppCkX knkkn,2,1,0)1()(????? ?np P(?) ?,2,1,0!)(????kkekXPk ??? 分布 期望 概率密度 區(qū)間 (a,b)上的 均勻分布 ????? ????其它,0,1)( bxaabxf2ba?E(?) ??? ?? ?其它,0,0,)( xexf x???1N(?,? 2) 222)(21)( ???????xexf?注意 不是所有的 例如 ：柯西 (Cauchy)分布的密度函數(shù)為 ???????? xxxf ,)1( 1)( 2? ?? ???????? ?? dxxxdxxfx )1( ||)(|| 2?但 發(fā)散 它的數(shù)學(xué)期望不存在 ! 設(shè)已知隨機(jī)變量 X的分布，我們需要計算的不是 X的期望，而是 X的某個函數(shù)的期望，比如說 g(X)的期望 . 那么應(yīng)該如何計算呢？ 如何計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? 一種方法是 : 因?yàn)?g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由 X的分布求出來 . 一旦我們知道了 g(X)的分布，就可 以按照期望的定義把 E[g(X)]計算出來 . 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 是否可以不求 g(X)的分布而只 根據(jù) X的分布求得 E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的 . 公式的重要性在于 : 當(dāng)我們求 E[g(X)]時 , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便 . ? 設(shè)離散 . X 的概率分布為 ?,2,1,)( ??? ipxXP ii 若無窮級數(shù) ???1)(iii pxg絕對收斂，則 ????1)()(iii pxgYE (1) Y = g(X ) 的數(shù)學(xué)期望 ? 設(shè)連續(xù) . X 的 . 為 f (x) ? ???? dxxfxg )()(絕對收斂 , 則 ? ????? dxxfxgYE )()()(若廣義積分 ?X 2 0 2 P 0. 4 0. 3 0. 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 )53( 2 ?XE求 ]523[]503[]5)2(3[)53(2222??????????????XE ????
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