[工學(xué)]第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(參考版)
2024-10-16 17:50本頁(yè)面
【正文】 2 將 n個(gè)編號(hào)為 1n的 n個(gè)球隨機(jī)放入 m個(gè)盒子中 去 (盒子容量不限 )， X表示有球的盒子數(shù)，求 EX .||),(~.3 2 ??? ?XENX 求已知XYyxyxyxf ?，求其它已知???????????,010,20),(81),( 4.。),(~,)39。,39。,...,(:112/12/1?????????????????????????????NXnxxxxxxfXXXnnnnn維正態(tài)分布，記為服從則稱表示行列式其中的聯(lián)合密度為維隨機(jī)向量若定義性質(zhì) ..,...,),(~.4).39。,...,()()39。,...,(111BYXABYAXEYYEXXEYXYYYXXEXXEXXEXEXEXEXnXXXmnnjinn????????????為隨機(jī)向量，定義為N維正態(tài)分布 ).,(~X.||,0,)39。)39。,...,()),( c o v ()39。.),c o v (),c o v () 39。 5. 矩、協(xié)方差矩陣 一 . 定義 : 設(shè) X和 Y是隨機(jī)變量 , 顯然 , E(X),E(Y)為一階原點(diǎn)矩 , D(X),D(Y)為二階中心 矩 , cov(X,Y)為二階中心混合矩 . (1) 若 E(Xk), k=1, 2, … 存在 , 則稱它為 X的 k階原點(diǎn)矩 . (2) 若 E{[XE(X)]k}, k=1, 2, … 存在 ,則稱它為 X的 k階中心矩 . (3) 若 E{Xk?Yl}, k, l=1, 2, … 存在 , 則稱它為 X和 Y的 k+l階混合矩 . (4) 若 E{[XE(X)]k?[YE(Y)]l}, k, l=1, 2,… 存在 , 則稱它為X和 Y的 k+l階中心混合矩 . : . 定義二二維隨機(jī)變量 (X1,X2) 由四個(gè)二階中心矩，分 別記為 2222211222122111221111][]][[]][[][EXXECEXXEXXECEXXEXXECEXXEC??????????將它們排成矩陣形式 ??????22211211 CCCC稱這個(gè)矩陣為 (X1,X2)的 協(xié)方差矩陣。1 2. 的逆命題不成立命題命題 .( y ) .( x ) ffy)f ( x , ,0, 0, ,1y x,1y)f ( x , . , YXXY22??????????????????????????但其其它的密度函數(shù)是反例?π( X , Y )不相關(guān)獨(dú)立則命題YX, YX, ),(~ 3. 222121??????N( X , Y ) 例 1.(X, Y)服從二維正態(tài)分布 ,求 X和 Y的相關(guān)系數(shù) . y ) d x d y) f ( x ,)(y(xY)C o v ( X , 21 ??? ????? ????]})())((2)([)1(21e x p {121),(2222212121212221????????????????????????yyxxyxf解：?? ??)(D ( X )Y) C ov( X ,XY YD., 010 ,2),(),(1 XYyxyxfYX?求其它的密度函數(shù)為設(shè)練習(xí)：??? ????2 求相關(guān)系數(shù) )(D ( X )Y) C ov ( X ,XY YD??公式： Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY 例 2 X~N(2021,1),Y~N(2021,1),且 X與 Y獨(dú)立， 求 3XY與 X+Y的相關(guān)系數(shù)。 . 1 XY0 ??相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,)()()],[ c o v ( 222 EYYEEXXEYX ???證：因?yàn)?12 ?XY， ?故。10/4)10/110/3(1)10/310/3(0??????????????EYEX.)10/4(10/1),c o v (2?????? EXEYEXYYX.,)(D ( X )Y) C o v ( X , 0,D ( Y ) 0,D ( X )2XY?的相關(guān)系數(shù)，記為為則稱：若定義YXYD??是不相關(guān)的。10/110/11110/30110/31010/300?????????????EXY。 5 若 X, Y相互獨(dú)立 , 則 Cov(X, Y)=0. 4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a為常數(shù) 。 6 |Cov(X, Y)|2≤D(X) 2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常數(shù) 。如 Cov(X,Y)0,表明 X和 Y有相同的變化趨勢(shì)的可能性大，即，當(dāng) X大于 EX時(shí)， Y通常也大于 EY；反之，若 Cov(X,Y)0,則表明 X和 Y相對(duì)于各自均值變化趨勢(shì)相反的可能性大。試證：的標(biāo)準(zhǔn)化隨為，則稱在，且均存方差，若其期望對(duì)任一隨機(jī)變量練習(xí)][* DXEXXEEX ??證1)(1
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