【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ?3,2,1, ??? tXtXtXtX? ? ?? ??? s in6?XR? ? 2/6 ?? ?? eR X 時 143 ? ? ?? ??? s in6?XR 時 ???????????????????????1s i n22s i n33s i ns i n1s i n22s i n22s i ns i n1s i n33s i n22s i ns i n16????????????????????????K例 . 設(shè)平穩(wěn)正態(tài)隨機信號 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ? 2/6 ?? ?? eR X求隨機變量 的協(xié)方差矩陣。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????????????? ? ??? 110 210 21210 2110 12 dtdttXtXEdttXdttXEYE? ? ? ?? ? ??????? ? ? 110 210 21 dtdttXtXE ? ?? ?? 10 10 2121 , dtdtttR X? ? ??? 10 10 2112 dtdte tt141 ? ? ??10 10 2112 dtdte tt ? ? ? ?? ?? ?????? ?? ???10 211102122 12 dtdtedtetttt tt? ?? ??? 10 2222 dte t 12 ?? e? ? ???????? ???? 121 4e x p41eyeyf Y?例 . 設(shè) X(t)是一個均值為零的平穩(wěn)正態(tài)隨機信號，自相 關(guān)函數(shù)為 ? ??? ?? eR X求隨機變量 的概率密度。 140 ? ? ? ? 010 ???????? ? dttXEYE例 . 設(shè) X(t)是一個均值為零的平穩(wěn)正態(tài)隨機信號，自相 關(guān)函數(shù)為 ? ??? ?? eR X求隨機變量 的概率密度。 ( ) ( )taY t X d??? ?( ) ( ) ( , )baY t X h t d? ? ?? ?,a t T?,b t T?正態(tài)隨機信號通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)隨機信號。 若正態(tài)隨機信號 X(t) 在 T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù) X(t)也是正態(tài)隨機信號。 性質(zhì) 1： 性質(zhì) 2： 正態(tài)隨機信號的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。 ,)( XX mtm ?)()(),( 1221 ?XXX RttRttR ??? ?137 2. 平穩(wěn)正態(tài)隨機信號的 n維概率密度 平穩(wěn)正態(tài)隨機信號一、二維概率密度表達式 222)(21)( XXmxXX exf??????? ? ?????????????????)(12)())()((2)(e x p)(121)。 135 概率密度函數(shù) ?????? ?????2)()(e xp)2(1),。 130 ? ? ? ? ? ?? ?dttwbwtatYtXtt T TTXY ???? ???????? ????? s i nc o sl i m)()(,?wab s in2? ? ??XYR?因此 X(t)和 Y(t)是聯(lián)合遍歷的。 ? ? ? ?? ???? wtbEtm Y s in ? ?? ?? ? ???20 s i n21 dwtb 0?? ? ? ? ? ?? ?? ????? ????? twbwtbEttR Y s i ns i n, ?wb s in22?因此 Y(t)是平穩(wěn)的。 ?? n??解： ? ?? ? ? ? ? ?? ?????????? ??? ttEtYtXEttR XY s i nc os)(),(? ?? ? ? ?? ??????????? 222s i n21s i n21s i n222s i n21 ???? tEtE? ??? XYR?? s in21? ? ? ?? ? 0?? tYtm Y)()(),(),( ??? ????? tmtmttRttK YXXYXY ?sin21?129 必須首先判斷隨機信號 X(t)和 Y(t)的平穩(wěn)性以及它們的聯(lián)合平穩(wěn)性 。 )(tX )(tY即 )()]()([)()()( ???XYXY RtYtXEtYtXt ?????????? ????? T TTXY dttYtXTtYtXt )()(2 1l i m)()()( ??聯(lián)合寬遍歷 128 平穩(wěn)隨機信號 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為： 故這兩個隨機信號是平穩(wěn)相依的 。 124 兩個隨機信號 和 ，如果： )(tX )(tY? 和 分別寬平穩(wěn) )(tX )(tY? 互相關(guān)函數(shù)僅為時間差 的函數(shù)，與時間 t 無關(guān) 即 ?則稱 和 為聯(lián)合寬平穩(wěn)。 ? 兩個隨機信號聯(lián)合遍歷的定義及判斷。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ???? T TTX dttXtXTtXtXR ??? 2 1lim? ? ? ? ? ?? ??? ??? ? ??? TTX dttXtXTR 01l i m六、相關(guān)函數(shù)的測量 121 方法 1：按照實驗數(shù)據(jù)確定 ? ? ? ? ? ?titkXtkXintiR inkX ??????? ??? 11tnT ??t???tXttnT ??122 方法 2：利用積分器，即連續(xù)型相關(guān)函數(shù)測量儀 ? ? ? ? ? ????? ?? T TTX dttXtXTR ?? 2 1l i m利用電路實現(xiàn)下式 相乘器 可變延遲 τ 積分器 ??tX ? ??XR?123 兩個隨機信號間的聯(lián)合平穩(wěn)和聯(lián)合遍歷 基本要求： ? 兩個隨機信號的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù) 的定義。 116 117 118 119 對于正態(tài)平穩(wěn)隨機信號，若均值為零，自相關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則此隨機信號具有遍歷性的一個充分條件為 )(?XR???? ?? dR X0 )(注意：判斷一個平穩(wěn)隨機信號是否遍歷的，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以概率 100%等于統(tǒng)計平均。 115 解： 例 6：討論隨機信號 YtX ?)( 的遍歷性 ， 其中 Y是方差不 為零的隨機變量 。 ? ?? ? ? ?? ????? twaEtXEtm X 0c o s)(? ?? ???? twaE 0co s? ?? ???? ? ?20 0c o s2 1 dtwa 0?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??????? 20222121 c o sc o s),( twatwaEtXtXEttR X? ? ? ?? ?????? 20222 c o sc o s twtwEa? ?? ? ? ?? ?? ??????? 2co sco s2 1202202 ttwttwEa? ??02 co s2 wa? X(t)是平穩(wěn)隨機信號。 （遍歷性更嚴(yán)格） 113 解： 例 5：已知隨機信號 ? ???? twatX0c o s)(?,其中 a和 w0是常數(shù) ， 是在 (0,2π)之間均勻分布的隨 機變量 。 時間均值 均值遍歷 時間相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù) 遍歷 依概率 1成立 111 ? 均方值和方差的遍歷性 2)()(21l i m)()(XTTT ΨdttXtXTtXtX ?? ????? ?? ? ? ?? ? 2)()(2 1lim)()( XT T XXTXX dtmtXmtXTmtXmtX ??????? ????均方值遍歷 方差遍歷 112 4 遍歷隨機信號的實際應(yīng)用 一般隨機信號的時間均值是隨機變量， 遍歷隨機信號的時間均值為確定值，因此可用 任一樣本函數(shù)的時間均值 代替 整個隨機信號的統(tǒng)計均值 (總集均值 )。 (1) 相關(guān)系數(shù)從最大值 1下降至 隔 ， 記做相關(guān)時間 , 即 : ?)( 0 ??Xr (2)用鉅形（高為 ,底為 的矩形）面積等于陰影面積 ( 積分的一半）來定義相關(guān)時間，即 1)0( ?Xr 0?)(?Xr??? ??? 00 )( dr X104 例 4：已知平穩(wěn)隨機信號 X1(t)的自相關(guān)函數(shù)為 21 3)(?? ?? eR X求它們的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間 平穩(wěn)隨機信號 X2(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ???? ? ?? ? 1)( 22 eR XX? ? ??? d??0 X解： 21 3)(?? ?? eR X由 知 01 ?Xm ? ? 30112 ?? XX R?21111 22)()( ???? ???? emRrXXXX2)( 001021????? ? ??? ?? ? ?? dedrX)(2 ?XR由 知 02 ?Xm ? ?0222 XX R??? ????? ? ???? ? 1)()( 2 22222emRrXXXX? ? 21)( 0020 2 ???? ?? ? ?? ????? ? dedr X105 寬平穩(wěn)隨機信號的小結(jié) 2( ) ( )X X XC R m????106 平穩(wěn)隨機信號的小結(jié) 107 數(shù)字特征的分類 五、遍歷性 /各態(tài)歷經(jīng)性 108 時間意義上的數(shù)字特征 五、遍歷性 /各態(tài)歷經(jīng)性 109 遍歷性隨機信號的定義 如果一個隨機信號 X(t),它的 各種時間平均 （時間足夠長）依概率 100%收斂于 相應(yīng)的各種集合平均 ,則稱X(t)具有嚴(yán)格遍歷性 ,并稱它為嚴(yán)遍歷隨機信號。 ? 相關(guān)系數(shù) 22)()0()()(XXXXXXmRKKr???? ???0)( ??Xr1)( ??Xr0)( ??Xr表示不相關(guān) 表示完全相關(guān) 表示正相關(guān)，即兩個不同時刻起伏值符號 ,很可能相同。 RX2(τ)=100e10|τ|+100是 X(t)的 非周期分量 的自相關(guān)函數(shù) ， 由性質(zhì) 4， 可得 22 ( ) 1 0XXmR? ? ? ? ?1222210[ ( ) ] ( 0 ) 3 0 0( 0 ) 3 0 0 1 0 0 2 0 0X X XXX X Xm m mE X t RRm?? ? ? ???? ? ? ? ?所以有 解： 101 嚴(yán)平穩(wěn)隨機信號 寬平穩(wěn)隨機信號 嚴(yán)平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān) 。 注： 相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線 100 例 3：已知平穩(wěn)隨機信號 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 RX(τ)=100e10| τ |+100cos10 τ +100 求 X(t)的均值、均方值和方差。 94 95 96 97 性質(zhì) 1 0)]([)0( 22 ??? XX tXER ?某瞬間 t的平均功率 性質(zhì) 2 )()( ?? ?? XX RR )()( ?? ?? XX KK 偶對稱性 性質(zhì) 3 2 (0 ) ( )X X XRR???? )()0( 2 ?? XXX KK ??極值性 三、平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 瞬時功率 瞬時交流功率 98 性質(zhì) 4 若平穩(wěn)隨機信號含有平均分量 (均值 mX) ，則自相關(guān)函數(shù)也含有平均分量 (均值 mX), 即 2)()( XXX mKR ?? ??則 22 2 2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( )X X XX X XX X XR K mRKRm????? ? ???若 X(t)是非周期的， 99 平穩(wěn)隨機信號必須滿足對所有 均成立。 解： ? ?? ? ? ?tBtAtEtXEtm c o ss