【文章內(nèi)容簡介】 2A?63 ? ? ? ?? ?tXEtm X ? ? ?twAE 0co s? ? ?AtEw 0co s? tw0c o s21?? ? ? ? ? ?? ?2121 , tXtXEttR X ? ? ?2022 co sco s twAtwAE?? ?22022 c o sc o s AEtwtw?2022 c o sc o s31 twtw?? ? ? ? ? ? ? ?212121 , tmtmttRttK XXXX ??20222022 c o sc o s41c o sc o s31 twtwtwtw ??2022 c o sc o s121 twtw?? ? ? ?ttKtσ XY ,2 ? tw02c o s121?例 6(課堂練習 )： 設(shè)隨機信號 X(t)=Acosw0t，其中 w0為常數(shù)， A為在 (0,1)之間均勻分布的隨機變量， 64 .7 時域統(tǒng)計特性的小結(jié) 65 隨機信號的微分和積分 基本要求： ?理解隨機信號的連續(xù)、微分、積分 ?掌握隨機信號的數(shù)字特征的求微分 ? 掌握隨機信號的數(shù)字特征的求積分 66 一、連續(xù)性的定義 隨機信號的微分和積分 一、 隨機信號的連續(xù)性 1. 確定信號 f(x)的連續(xù)性 對于確定性函數(shù) ， 若 )(xf000l i m [ ( ) ( ) ] 0x f x x f x?? ? ? ? ?則 在 處連續(xù)。 )(xf 0x67 2. 隨機信號 的連續(xù)性 )(tX如果隨機信號 滿足 )(tX0])()([lim 20 ?????? tXttXEt則稱 依 均方 收斂意義下在 t點連續(xù)，簡稱隨機信號 在 t點 均方連續(xù) ，記為： )(tX)(tX)()(0 tXttXl . i . mt ?????68 3. 隨機信號 的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則 連續(xù) )(tX )(tX4. 隨機信號 均方連續(xù)，則其數(shù)學期望連續(xù) )(tX69 二、微分（求導數(shù)） 二、 隨機信號的導數(shù) （求微分） 一階可導： 如果 存在，則 在 t處可導，記為 。 ttfttft ??????)()(lim0 )(tf)(tf?二階可導： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00?????????存在，則 二階可導，記為 ),( tsftstsf??? ),(2若 70 2. 隨機信號的可導 ? 通常意義下的導數(shù) 隨機信號 X(t)的導數(shù)（求極限） ttXttXdttdXtXt ????????? )()(l i m)()(0如果該極限對隨機信號 X(t)的任意一個樣本函數(shù)都存在，則 )(tX? 具有導數(shù)的通常意義。 71 如果隨機信號 滿足 )(tX?0)()()(lim20??????????????? ?? ??????tXt tXttXEt則稱 在 t時刻具有均方導數(shù) ，表示為 )(tX )(tX?ttXttXmildttdXtXt ????????? )()(..)()(0? 均方意義下的導數(shù) 72 隨機信號 X(t)在 t處均方可微的充分條件為：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時，存在二階混合偏導數(shù)且連續(xù)，即存在 2121212 ),(ttXttttR????73 3. 數(shù)字特征 （ 1）隨機信號導數(shù)的數(shù)學期望等于其數(shù)學期望的導數(shù) )]([])([ tXEdtddt tdXE ?（ 2）隨機信號導數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機信號的相關(guān)函數(shù)的混合偏導數(shù) 2121221),()]()([ttttRtXtXE X??????74 例 2. 隨機信號 X(t)的數(shù)學期望為 ? ? ttmX s in5?相關(guān)函數(shù)為 ? ?212 )(21 3, ttX ettR ???求隨機信號 ? ? ? ?tXtY ?? 的均值與相關(guān)函數(shù) ? ? ? ? tdt tdmtm XY c o s5??? ? ? ?21)(21212212123,ttettttRttR ttXY ???????? ??75 例 2. 隨機信號 X(t)的數(shù)學期望為 ? ? 42 ?? ttmX求隨機信號 ? ? ? ? 2tttXtY ?? ? 的均值。 ? ? ? ? ?????? ?? ? 2ttXtEtmY? ? 2ttXtE ???????? ?23t?76 77 三、 隨機信號的積分 1. 確定信號的積分 對于確定性函數(shù) ， )(xf? ?????baniii xfdxxf10)(lim)( ??其中 ， 1???? iii xxx ? ? nix i , . . . . ,2,1,m a x ????三、積分 78 2. 隨機信號的積分 ① 定區(qū)間 積分： 隨機信號 在 確定區(qū)間 上的積分 Y是一個隨機變量，即 ()Xt ? ?,ab?? ba dttXY )(即 0))((lim120 ??????? ?? ????niiit ttXYEi則稱 為隨機信號 在 上的均方積分。 ???????? niiiba ttXmildttXY 10 )(..)(? ?,aba b t 若 0??it時， ???? niii ttXY1)( 的均方值趨于零， 79 ③ 加權(quán) 積分： ?? ba dthXtY ??? ),()()(② 變上限 積分： ?? ta dXtY ?? )()(a t t t t ta λ b? ?th ,?80 隨機信號積分的數(shù)字特征 （ 1）積分的數(shù)學期望 =數(shù)學期望的積分。 ? ?Ym = E Y = ( ) ( )bb XaaE X t d t m t d t?? ??????????????? niiiba ttXmildttXY 10 )(..)((2) 積分的均方值 =自相關(guān)函數(shù)的二重積分 ； 2 1 1 2 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( , )b b b b Xa a a aE Y E X t dt X t dt R t t dt dt?? ???? ? ? ? ?(3) 積分的方差 =自協(xié)方差 的二重積分。 2 2 21 2 1 2[ ] [ ] ( , )bbYX aaE Y E Y K t t dt dt? ??? ??81 (1) 積分的數(shù)學期望 =數(shù)學期望的積分 4. 變上限 隨機信號積分的數(shù)字特征 ?? ta dXtY ?? )()(? ?( ) ( ) =ttYXaam t E X d m d? ? ? ???? ??????(2) 積分的自相關(guān)函數(shù) =自相關(guān)函數(shù)的二重積分 積分的自相關(guān) ?積分的均方值 1 2 1 239。 39。 39。 39。12( , ) ( ) ( ) ( , )t t t tYX a a a aR t t E X d X d R d d? ? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ?(3) 積分的自協(xié)方差函數(shù) =自 協(xié)方差 函數(shù)的二重積分 積分的自協(xié)方差 ?積分的方差 ? ? ? ? 12 39。39。1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )ttY Y Y Y XaaK t t R t t m t m t K d d? ? ? ?? ? ? ??82 積分的舉例 例 4. 隨機信號 X(t)= tVet 2c o s3的隨機變量，求隨機信號 ? ? ? ??? t dXtY0 ??的均值、自相關(guān) ，其中 V是均值為 5，方差為 1 函數(shù)、 自 協(xié)方差函數(shù)和方差。 解： (1)求 X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù) ? ? ? ?VEtetm tX ?? 2co s3 te t 2c os5 3?? ? ? ? ? ?? ?2121 , tXtXEttR X ?? ?2313 2c o s2c o s 21 tVetVeE tt?? ?22313 2c o s2c o s 21 VEtete tt?2133 2co s2co s26 21 tte tt ??83 (2)求 Y(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) ? ? ? ? ?? ?? tt XY dedmtm 0 30 2co s5 ???? ?? ?? ?32c o s32s i n2135 3 ??? tte t? ? ? ? 210 0 2121 1 2 , ???? ddRttR t t XY ? ??210 0 21331 2 21 2co s2co s26 ?????? ddet t? ? ??? ?? ?? ?? ?32c o s3s i n232c o s3s i n21 6 92622311321??????ttettett84 ? ? ? ? ? ? ? ?212121 , tmtmttRttK YYYY ??? ?? ?? ?? ?32c o s3s i n232c o s3s i n21 6 9122311321??????ttettett? ? ? ?ttKt YY ,2 ??? ?? ?23 32c o s3s i n21 6 91 ??? tte t85 基本要求： ? 隨機信號寬平穩(wěn)性的判斷。 ? 計算寬平穩(wěn)隨機信號的時域統(tǒng)計特性。 ? 隨機信號遍歷性的判斷。 平穩(wěn)隨機信號的判定及其遍歷性 86 1. 嚴平穩(wěn)隨機信號 (1) 定義 )t,t,t。x,x,(xf n21n21X ??? ???? ??)t,t,t。x,x,(xf n21n21X ?? 如果對于任意的 n和 ，隨機信號 X(t)的 n 維概率密度滿足： ?則稱 X(t) 為嚴平穩(wěn)（或狹義）隨機信號 。 t 1t 2t nt??1t ??2t??nt嚴平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān) 。 一、平穩(wěn)隨機信號 87 (2) 一、二維概率密度及數(shù)學特征 ? 嚴平穩(wěn)隨機信號的一維概率密度與時間無關(guān) 1 1 1[ ( ) ] ( ) XXE X t x f x d x m??????2 2 21 1 1[ ( ) ] ( )XXE X t x f x d x???? ? ??221 1 1[ ( ) ] ( ) ( )X XXD X t x m f x d x ????? ? ???? )。()。( 1111 ??? txftxf XXt 1t??1t)()0。()。()。( 1111111 xfxftxftxf XXXXt ????? ?? ??88 ? 嚴平穩(wěn)隨機信號的二維概率密度只與 t1, t2的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān) ?? ),。,(),。,( 21212121 ?? ??? ttxxfttxxf XX)。(),0。(),。( 21122121211 ?? xxfttxxfttxxf XXXt ，， ???? ??)()。(),( 21212121 ?? XXX RdxdxxxfxxttR ?? ? ???? ??? ，221 )()(),( XXXX mRKttK ??? ??89 (3)嚴平穩(wěn)的判斷 按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機信號是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其 n維概率密度，可是求 n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機信號不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個： (1) 若 X(t)為嚴平穩(wěn)， k為任意正整數(shù)，則 與時間 t無關(guān)。 )]([ tXE k (2) 若 X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻 t0，