【文章內容簡介】 2A?63 ? ? ? ?? ?tXEtm X ? ? ?twAE 0co s? ? ?AtEw 0co s? tw0c o s21?? ? ? ? ? ?? ?2121 , tXtXEttR X ? ? ?2022 co sco s twAtwAE?? ?22022 c o sc o s AEtwtw?2022 c o sc o s31 twtw?? ? ? ? ? ? ? ?212121 , tmtmttRttK XXXX ??20222022 c o sc o s41c o sc o s31 twtwtwtw ??2022 c o sc o s121 twtw?? ? ? ?ttKtσ XY ,2 ? tw02c o s121?例 6(課堂練習 )： 設隨機信號 X(t)=Acosw0t，其中 w0為常數， A為在 (0,1)之間均勻分布的隨機變量， 64 .7 時域統(tǒng)計特性的小結 65 隨機信號的微分和積分 基本要求： ?理解隨機信號的連續(xù)、微分、積分 ?掌握隨機信號的數字特征的求微分 ? 掌握隨機信號的數字特征的求積分 66 一、連續(xù)性的定義 隨機信號的微分和積分 一、 隨機信號的連續(xù)性 1. 確定信號 f(x)的連續(xù)性 對于確定性函數 ， 若 )(xf000l i m [ ( ) ( ) ] 0x f x x f x?? ? ? ? ?則 在 處連續(xù)。 )(xf 0x67 2. 隨機信號 的連續(xù)性 )(tX如果隨機信號 滿足 )(tX0])()([lim 20 ?????? tXttXEt則稱 依 均方 收斂意義下在 t點連續(xù)，簡稱隨機信號 在 t點 均方連續(xù) ，記為： )(tX)(tX)()(0 tXttXl . i . mt ?????68 3. 隨機信號 的相關函數連續(xù)，則 連續(xù) )(tX )(tX4. 隨機信號 均方連續(xù)，則其數學期望連續(xù) )(tX69 二、微分（求導數） 二、 隨機信號的導數 （求微分） 一階可導： 如果 存在，則 在 t處可導，記為 。 ttfttft ??????)()(lim0 )(tf)(tf?二階可導： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00?????????存在，則 二階可導，記為 ),( tsftstsf??? ),(2若 70 2. 隨機信號的可導 ? 通常意義下的導數 隨機信號 X(t)的導數（求極限） ttXttXdttdXtXt ????????? )()(l i m)()(0如果該極限對隨機信號 X(t)的任意一個樣本函數都存在，則 )(tX? 具有導數的通常意義。 71 如果隨機信號 滿足 )(tX?0)()()(lim20??????????????? ?? ??????tXt tXttXEt則稱 在 t時刻具有均方導數 ，表示為 )(tX )(tX?ttXttXmildttdXtXt ????????? )()(..)()(0? 均方意義下的導數 72 隨機信號 X(t)在 t處均方可微的充分條件為：相關函數在它的自變量相等時，存在二階混合偏導數且連續(xù)，即存在 2121212 ),(ttXttttR????73 3. 數字特征 （ 1）隨機信號導數的數學期望等于其數學期望的導數 )]([])([ tXEdtddt tdXE ?（ 2）隨機信號導數的相關函數等于可微隨機信號的相關函數的混合偏導數 2121221),()]()([ttttRtXtXE X??????74 例 2. 隨機信號 X(t)的數學期望為 ? ? ttmX s in5?相關函數為 ? ?212 )(21 3, ttX ettR ???求隨機信號 ? ? ? ?tXtY ?? 的均值與相關函數 ? ? ? ? tdt tdmtm XY c o s5??? ? ? ?21)(21212212123,ttettttRttR ttXY ???????? ??75 例 2. 隨機信號 X(t)的數學期望為 ? ? 42 ?? ttmX求隨機信號 ? ? ? ? 2tttXtY ?? ? 的均值。 ? ? ? ? ?????? ?? ? 2ttXtEtmY? ? 2ttXtE ???????? ?23t?76 77 三、 隨機信號的積分 1. 確定信號的積分 對于確定性函數 ， )(xf? ?????baniii xfdxxf10)(lim)( ??其中 ， 1???? iii xxx ? ? nix i , . . . . ,2,1,m a x ????三、積分 78 2. 隨機信號的積分 ① 定區(qū)間 積分： 隨機信號 在 確定區(qū)間 上的積分 Y是一個隨機變量，即 ()Xt ? ?,ab?? ba dttXY )(即 0))((lim120 ??????? ?? ????niiit ttXYEi則稱 為隨機信號 在 上的均方積分。 ???????? niiiba ttXmildttXY 10 )(..)(? ?,aba b t 若 0??it時， ???? niii ttXY1)( 的均方值趨于零， 79 ③ 加權 積分： ?? ba dthXtY ??? ),()()(② 變上限 積分： ?? ta dXtY ?? )()(a t t t t ta λ b? ?th ,?80 隨機信號積分的數字特征 （ 1）積分的數學期望 =數學期望的積分。 ? ?Ym = E Y = ( ) ( )bb XaaE X t d t m t d t?? ??????????????? niiiba ttXmildttXY 10 )(..)((2) 積分的均方值 =自相關函數的二重積分 ； 2 1 1 2 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( , )b b b b Xa a a aE Y E X t dt X t dt R t t dt dt?? ???? ? ? ? ?(3) 積分的方差 =自協方差 的二重積分。 2 2 21 2 1 2[ ] [ ] ( , )bbYX aaE Y E Y K t t dt dt? ??? ??81 (1) 積分的數學期望 =數學期望的積分 4. 變上限 隨機信號積分的數字特征 ?? ta dXtY ?? )()(? ?( ) ( ) =ttYXaam t E X d m d? ? ? ???? ??????(2) 積分的自相關函數 =自相關函數的二重積分 積分的自相關 ?積分的均方值 1 2 1 239。 39。 39。 39。12( , ) ( ) ( ) ( , )t t t tYX a a a aR t t E X d X d R d d? ? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ?(3) 積分的自協方差函數 =自 協方差 函數的二重積分 積分的自協方差 ?積分的方差 ? ? ? ? 12 39。39。1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )ttY Y Y Y XaaK t t R t t m t m t K d d? ? ? ?? ? ? ??82 積分的舉例 例 4. 隨機信號 X(t)= tVet 2c o s3的隨機變量，求隨機信號 ? ? ? ??? t dXtY0 ??的均值、自相關 ，其中 V是均值為 5，方差為 1 函數、 自 協方差函數和方差。 解： (1)求 X(t)的均值和自相關函數 ? ? ? ?VEtetm tX ?? 2co s3 te t 2c os5 3?? ? ? ? ? ?? ?2121 , tXtXEttR X ?? ?2313 2c o s2c o s 21 tVetVeE tt?? ?22313 2c o s2c o s 21 VEtete tt?2133 2co s2co s26 21 tte tt ??83 (2)求 Y(t)的均值、自相關函數和自協方差函數 ? ? ? ? ?? ?? tt XY dedmtm 0 30 2co s5 ???? ?? ?? ?32c o s32s i n2135 3 ??? tte t? ? ? ? 210 0 2121 1 2 , ???? ddRttR t t XY ? ??210 0 21331 2 21 2co s2co s26 ?????? ddet t? ? ??? ?? ?? ?? ?32c o s3s i n232c o s3s i n21 6 92622311321??????ttettett84 ? ? ? ? ? ? ? ?212121 , tmtmttRttK YYYY ??? ?? ?? ?? ?32c o s3s i n232c o s3s i n21 6 9122311321??????ttettett? ? ? ?ttKt YY ,2 ??? ?? ?23 32c o s3s i n21 6 91 ??? tte t85 基本要求： ? 隨機信號寬平穩(wěn)性的判斷。 ? 計算寬平穩(wěn)隨機信號的時域統(tǒng)計特性。 ? 隨機信號遍歷性的判斷。 平穩(wěn)隨機信號的判定及其遍歷性 86 1. 嚴平穩(wěn)隨機信號 (1) 定義 )t,t,t。x,x,(xf n21n21X ??? ???? ??)t,t,t。x,x,(xf n21n21X ?? 如果對于任意的 n和 ，隨機信號 X(t)的 n 維概率密度滿足： ?則稱 X(t) 為嚴平穩(wěn)（或狹義）隨機信號 。 t 1t 2t nt??1t ??2t??nt嚴平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間起點無關 。 一、平穩(wěn)隨機信號 87 (2) 一、二維概率密度及數學特征 ? 嚴平穩(wěn)隨機信號的一維概率密度與時間無關 1 1 1[ ( ) ] ( ) XXE X t x f x d x m??????2 2 21 1 1[ ( ) ] ( )XXE X t x f x d x???? ? ??221 1 1[ ( ) ] ( ) ( )X XXD X t x m f x d x ????? ? ???? )。()。( 1111 ??? txftxf XXt 1t??1t)()0。()。()。( 1111111 xfxftxftxf XXXXt ????? ?? ??88 ? 嚴平穩(wěn)隨機信號的二維概率密度只與 t1, t2的時間間隔有關，而與時間起點無關 ?? ),。,(),。,( 21212121 ?? ??? ttxxfttxxf XX)。(),0。(),。( 21122121211 ?? xxfttxxfttxxf XXXt ，， ???? ??)()。(),( 21212121 ?? XXX RdxdxxxfxxttR ?? ? ???? ??? ，221 )()(),( XXXX mRKttK ??? ??89 (3)嚴平穩(wěn)的判斷 按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機信號是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其 n維概率密度，可是求 n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機信號不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個： (1) 若 X(t)為嚴平穩(wěn)， k為任意正整數，則 與時間 t無關。 )]([ tXE k (2) 若 X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻 t0，